一道适合竞赛生做的新高考第19题

直接看第（3）问，即求2×n矩阵中每行、每列元素之和中，绝对值最小的那个的最大值．

首先是对于绝对值的处理，结合和为0的条件，常用方法是正负分离．

另一个典型例子是1989年的高联题，如下：

已知x_(i)∈R（i=1,2,⋯,n,n≥2），满足∑_(i=1)^(n)|x_(i)|=1，∑_(i=1)^(n)x_(i)=0．求证：∣∑_(i=1)^(n)(x_(i))/(i)∣≤(1)/(2)−(1)/(2n)．

注意到任意交换两行（列）的所有元素，不影响条件和结论．不妨设r_(1)≥0≥r_(2)，c_(1)≥⋯≥c_(k)≥0≥c_(k+1)≥⋯≥c_(n)．

（为简便书写，r_(i)(A)和c_(i)(A)简记为r_(i)和c_(i))

不妨设k≥t（即c_(i)中非负数的个数小于非正数的个数）．否则，可将每个数均取相反数，结论不变．

于是，由

公式：\begin{aligned} &k(A)=\min\{|r_1|,|r_2|,|c_1|,\cdots,|c_n|\}\\ =&\min\{r_1,-r_2,c_1,\cdots,c_k,-c_{k+1},\cdots,-c_n\} \end{aligned}

知

公式：\begin{aligned} &(1+n-k)k(A)\\ \le&r_1+(-c_{k+1})+\cdots+(-c_n)\\ =&a_{1,1}+\cdots+a_{1,k}-a_{2,k+1}-\cdots-a_{2,n}\\ \le&|a_{1,1}|+\cdots+|a_{1,k}|+|a_{2,k+1}|+\cdots+|a_{2,n}|\\ \le&n \end{aligned}

于是

公式：k(A)\le\dfrac{n}{1+n-k}\le\dfrac{2t+1}{1+2t+1-t}=\dfrac{2t+1}{t+2}

等号成立条件如下：