2024年中科大少创班科学营第二阶段数学试题

2024年中科大少创班科学营第二阶段数学试题

2024年4月20日上午

9:00—10:00播放学习视频

10:00—11:30测试

解答题（共5题，每小题20分，计100分）

1. 在n维数组空间R^(n)中，可以定义距离公式：d_{2}(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}．
   (1)对n=2的情形，证明d_(2)是R^(n)上的距离．
   (2)定义距离d_(1)=∑_(i=1)^(n)|x_(i)−y_(i)|，公式：d_{\infty}=\max\limits_{i=1,\cdots,n}\{|x_{i}-y_{i}|\}，证明：d_(1),d_(2),d_(∞)是等价距离．

2. 设有限集A={1,2,⋯,q}，定义集合X=A^(n)．在集合X上定义两个元素x=(x_(1),⋯,x_(n))和y=(y_(1),⋯,y_(n))的汉明距离公式：d(x,y)=\#\{i\in A\mid x_{i}\neq y_{i}\}．
   (1)证明：已知正整数r≤n，则集合{y∈X∣d(x,y)≤r}的元素个数为∑_(i=0)^(r)(q−1)^(i)Cin．
   (2)证明恒等式：q^(n)=∑_(i=0)^(n)(q−1)^(i)Cin，只允许使用第（1）问的结论．
   (3)设X的子集C有M个元素，满足条件：（i）C中任意两个元素的距离不小于r；（ii）C是满足条件的最大子集，证明不等式

公式：M\ge\frac{q^{n}}{\sum_{i=0}^{r-1}(q-1)^{i}\mathrm{C}_{n}^{i}}.

3. 证明以下结论：
   (1)单点集{x_(0)}是闭集．
   (2)任意个开集的并仍是开集．
   (3)有限个开集的交仍是开集．
   (4)在有理数集Q上定义p-进距离，则Z⊆Q不是闭集．

4. 回答下列问题：
   (1)写出柯西序列的定义．
   (2)已知{x_(n)}和{y_(n)}是距离空间R上的柯西序列，求证：{x_(n)y_(n)}也是R上的柯西序列．
   (3)设{x_(n)}是汉明空间上的柯西序列，求证：∃N∈Z^(∗)，使得∀n>N，x_(n)=x_(N)．

5. 在有理数集Q上，定义p-进距离d_(p)(x,y)=|x−y|_(p)．
   (1)证明：不同的p-进距离互不等价．
   (2)证明：在p-进距离下lim_(n→+∞)(1+p)^(p^(n))=1．