代数
共 131 篇 · 第 3 / 4 页 不等式、多项式、函数方程、数列与恒等变形
正可约多项式
公众号原标题：【习题研讨】正可约多项式称多项式 f(x) 为 正可约多项式，如果 f(x) 能写为为两个非常数的正系数多项式之积．设多项式 f(x) 满足 f(0)≠ 0，且存在正整数 n，使得 f(x^n) 是一个正可约多项式，…
一道复数不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道复数不等式给定正实数 t，求证：对任意 z_1，z_2，都有 |1+z_1|+|1+z_2|+|1+tz_1z_2|≥ 1+min{t,1/t}. 欢迎各位读者将解答发送至邮箱encifanggen@qq.com
基于柯西不等式的一种代换方法
我们先看一道柯西不等式的入门题目：题目1: 设 n ≥ 3 为正整数，a、b 为给定的实数，实数 x_1，x_2，…，…
函数有三个零点——解答
题目来源：对任意的 θ∈(0,π)，证明：函数 F(x)=(x^3-3x)sinθ+(3x^2-1)cosθ 在 (-∞,+∞) 上都有三个零点． 证明：若 cos θ=0，则 F(x)=x^3-3x，有三个零点：0，…
三道ARO地区轮不等式问题的解答
感谢王卫华老师翻译了2023年俄罗斯数学奥林匹克——地区轮的题目，简单做了一下三道不等式题目
三次方程根的分布
公众号原标题：【习题研讨】三次方程根的分布a，b，c 为给定实数，求证：4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c 在 (1/6,5/6) 上至少有一个根． 注：本题为一道经典高数题的加强，…
利用欧拉分解公式解RMM第一题
2023年罗马尼亚大师赛第一天第1题如下：求所有质数 p 和正整数 x，y，使得 x^3+y^3=p(xy+p). 看到这题的立方和形式，…
2023TMO代数题解答
感谢王卫华老师翻译了 2023台湾数学奥林匹克（TMO）试题，这里给出第四题的证明． 题目：m 为正整数，实数 a_1，a_2，…，…
用万能公式代换解一道网红试题
九章Vector公众号上发了一道网红试题，我也用代数方法来做一下。 网红试题@10几年前的一道题 问题：在 △ ABC 中，…
牛顿不等式的初等证明
在 《麦克劳林不等式的初等证明》 一文中，龚固老师用数学归纳法给出了麦克劳林不等式的一个初等证明。这里我也尝试用数学归纳法来证明牛顿不等式
ac-bd=(a+b)c-(c+d)b
以下为证明Farley级数性质的过程中，一个重要的结论． 设 a、b、c、d、e、f 都是正整数，且 a/b>c/d>e/f，af-be=1 ．求证：d≥ b+f ． 证明：由 a/b>c/d 知 ad-bc>0，…
一道不等式的若干推广
《命题人讲座——代数不等式》中有一道例题：正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3 ．证明：1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)≥ a^2+b^2+c^2. 该不等式可加强为：正实数 a，b，…
一道复数题的线代背景
假设 a，b，c，d，且 |a|^2+|b|^2=|c|^2+|d|^2=1，ac+bd=0 ．求证：ab+cd=0 ． 证明：记 X=( lla b c d ) ．由于 XX^H= ( lla b c d )·( …
两道条件为x+y+z=xy+yz+zx的不等式
今天，在不等式爱好者群中，吴老师问了如下不等式：实数 x，y，z 满足 x+y+z=xy+yz+zx ．证明：x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥ -1/2. 以下为我的证明：引理：若 …
利用Schur不等式的一个加强证明Iran96不等式
求最大的正实数 k，使得对任意 a，b，c≥ 0，都有 Σ a(a-b)(a-c)≥ k((a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2)/((a+b)(b+c)(c+a)). 证明：令 c=0 …
嵌入不等式的n元推广
x_k≥ 0，1≤ k≤ n，x_(n+1)=x_1，α_k∈(0,π) 且 Σ_(k=1)^nα_k=π，则 cos(π)/nΣ_(k=1)^nx_k^2≥Σ_(k=1)^nx_kx_(k+1)cosα_k 特别地，…
2022年中国台湾IMOC——代数、几何组
公众号原标题：2022年中国台湾IMOC中文翻译——代数、几何组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
用调整法证明2022年CGMO第8题
前言：写完后发现和AoPS上已有的一个解答非常相似，就不标原创了。2022年中国女子数学奥林匹克第八题如下：设 x_1，x_2，…，x_11 是非负实数，且总和等于 1 ．对 i=1，2，…，11，…
2021年普林斯顿数学竞赛代数组
公众号原标题：2021年普林斯顿数学竞赛代数组——中文翻译A组 求所有满足以下方程的实数 x 之和：(8^x-19· 4^x)/(16-25· 2^x)=2. 对双射函数 g：R，如果函数 f：R 满足等式：(f° g)(x)=g^(-1)(x)，…
2022年函数方程奥林匹克（SEIF）预选题
公众号原标题：2022年函数方程奥林匹克（SEIF）预选题——中文翻译记号说明：本试题中，ℕ 表示正整数集，ℕ_(0) 则表示自然数集． f^(m)(n) 表示 f(n) 的 m 次迭代，f(n)^(m) 则表示 f(n) 的 m 次方． 对正整数 n，…
两道不等式问题的解答
正实数 a，b，c 满足 ab+bc+ca=3，求证：(bc)/(1+a^4)+(ca)/(1+b^4)+(ab)/(1+c^4)≥3/2. 2022年菲律宾数学奥林匹克第二天第3题 证明：注意到 …
一道复数方程组问题
题目：求所有的正整数 n 使方程组 { x+y+z=3 x^2+y^2+z^2=3 x^n+y^n+z^n=3 . 在复数范围内有唯一解． 解答：显然方程组有解 (x,y,z)=(1,1,1) ． 当 n=1、2 时，…
20道用阿贝尔变换证明的不等式
阿贝尔分部求和公式：令 S_0=0，S_k=Σ_(i=1)^ka_i （1≤ k≤ n），则 Σ_(k=1)^n a_k b_k=Σ_(k=1)^(n-1) S_k(b_k-b_(k+1))+b_n S_n． …
16道用数学归纳法证明的不等式
用数学归纳法证明下列不等式：（柯西不等式）设 a_1,a_2,…,a_n 和 b_1,b_2,…,b_n 是两个实数列，…
32道含绝对值的不等式
两个实数列 a_1,…,a_n;b_1,…,b_n 满足 Σ a_i^2=Σ b_i^2 = 1，证明 (a_1b_2-a_2b_1)^2≤ 2 | a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n-1|. 设 a_1, …
15道数学竞赛中的方程（组）问题
（2006年加拿大数学奥林匹克） 解方程组：v_i=1+(6v_i^2)/(v_1^2+v_2^2+…+v_10^2)(1≤ i≤ 10). （2016年ELMO） 求所有的正整数 n，…
齐次化思想在代数变形中的应用
在数学中，我们把一个代数式中各项的次数都相同的式子称为⻬次式．更严谨的定义如下：设含有变量 x_1、x_2、…、x_n 的 不 等式，如果对任意正数 λ，…
Fan不等式相关问题的整理
最近在各个微信群里看到了一些不等式，都和Fan不等式有关．本文简单地做个整理：设 b_i，i=1，2，…，n，且 Σ_(i=1)^nb_i=0 ．则 Σ_(i=1)^n b_i b_(i+1) ≤ cos (2 …
单墫教授一道不等式的另证及推广
近段时间没怎么做题，今晚翻看各公众号的题目，发现单墫教授发的一道不等式难题：设 a，b，c> 0，a+b+c=ab+bc+ca ．求证：√(ab)+√(bc)+√(ca)≥ 2+√(abc)． 不少老师给出了证明，…
一道IMOC不等式及加强的证明
2021年中国台湾IMOC代数组第7题如下：（全部试题见：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）） 题目：对任意满足 a^2+b^2+c^2+d^2=4 的正实数 a，b，c，d，…
2021年中国台湾IMOC——代数组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——代数组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
一道复数求值问题的另解及推广
本文首发于公众号：平行线竞赛强基 前两天，闫老师发了如下题目：又一道复数相关的求值题 题目 设 a，b，c，d 是 f(x)=x^4-3x^3+2x^2+5x-4 的零点，…
证明两多项式相同的几个方法
公众号原标题：【教学笔记】证明两多项式相同的几个方法前几天讲多项式时，我问了学生一个问题：最少通过几次整数赋值，能够证明两个整系数多项式和相同？这个问题有些宽泛
几道用二进制解决的数列问题
公众号原标题：【教学笔记】几道用二进制解决的数列问题这是前两天给学生讲的几道数列题：题目1 （2013年高联二试）给定正整数 u,v ．数列 {a_n} 定义如下：a_1=u+v，对整数 m≥ 1，…
有理根判定定理的一个妙用
公众号原标题：【教学笔记】有理根判定定理的一个妙用今天在上课时给初中的学生介绍了整系数多项式的有理根判定定理：定理 设 p/q p/q≠ 0 是整系数多项式 f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_0 的一个有理根，…
2021年德国数学奥林匹克解答
试题见：2021德国数学奥林匹克 中文翻译 求所有实数 a，b，c，d，使得 a，b 为 2x^2-3cx+8d 的两个互异根，且 c，…
一个三元不等式
题目1 非负实数 a，b，c 满足 a+b+c=6，求 ∑_(cyc)√(a^(2)+bc) 的最大值． 分析1 首先当然是猜测取得最值的条件，代入几组特殊的 (a,b,c)，…
一个n元不等式的引理
在昨天的文章中，有一道题目的等价形式如下：题目1 x，y，z，w 为非负实数，且 x+y+z+w=4 ．求证：(xyz)^(3/2)+(yzw)^(3/2)+(zwx)^(3/2)+(wxy)^(3/2)≤ 4． 将 …
几个不等式的证明
题目1 （2021年西班牙数学奥林匹克） 实数 a，b，c，d 满足 a+b+c+d=0，a^2+b^2+c^2+d^2=12 求 abcd 的最值以及取得最值时 a，b，c，d 的取值． 分析 最大值很容易得到，…
一个恒等式与一个复数不等式
首先来看一个常见的恒等变形：x+y+z+2=xyz 1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1 若将上式两端同除以 xyz 可得：1/(yz)+1/(zx)+1/(xy)+2/(xyz)=1 …
