利用欧拉分解公式解RMM第一题

2023年罗马尼亚大师赛第一天第1题如下：

求所有质数𝑝和正整数𝑥，𝑦，使得

𝑥^(3)+𝑦^(3)=𝑝(𝑥𝑦+𝑝).

看到这题的立方和形式，首先想到的是欧拉分解公式：

公式：x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

相关链接：欧拉分解公式的若干应用

我们有

公式：\begin{aligned} &x^3+y^3=p(xy+p)\\ \iff&x^3+y^3+(\frac{p}{3})^3-3xy\cdot\frac{p}{3}=\frac{p^3}{27}+p^2\\ \iff&(3x+3y+p)Q=p^2(p+27) \end{aligned}

其中𝑄为一个正整数，形式较为复杂，在这不考虑。

于是我们将不定方程转化为了“乘积=乘积”的形式，注意到直接对原式进行分解，也能得到“乘积=乘积”的形式，即

公式：(x+y)(x^2-xy+y^2)=p(xy+p)

这提示我们考虑𝑝和𝑥+𝑦的关系：

若𝑝∣𝑥+𝑦，设𝑥+𝑦=𝑡𝑝，则

公式：\begin{aligned} &(x+y)(x^2-xy+y^2)\\ =&(x+y)(\frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2)\\ \ge&\frac{1}{4}(x+y)^3\\ =&\frac{1}{4}t^3p^3 \end{aligned}

而

公式：\begin{aligned} &p(xy+p)\\ \le&p(\frac{1}{4}(x+y)^2+p)\\ =&\frac{1}{4}p^2(t^2p+4) \end{aligned}

于是

若𝑡≥2，则(𝑡^(3)−𝑡^(2))𝑝≥4𝑝>4，矛盾，故𝑡=1，代回原方程得𝑥^(2)−𝑥𝑦+𝑦^(2)=𝑥𝑦+𝑝，即𝑝=(𝑥−𝑦)^(2)为完全平方数，矛盾，于是𝑝∤𝑥+𝑦．

又由于𝑝为质数，于是(3𝑥+3𝑦+𝑝,𝑝^(2))=1，故3𝑥+3𝑦+𝑝∣𝑝+27．

设𝑝+27=𝑘(3𝑥+3𝑦+𝑝)，即(𝑘−1)𝑝=3(9−𝑘(𝑥+𝑦))．由𝑥+𝑦≥2知，𝑘≤4．

(1)𝑘=1时，𝑥+𝑦=9，枚举得{𝑥,𝑦}={1,8}，𝑝=19；{𝑥,𝑦}={2,7}，𝑝=13；{𝑥,𝑦}={4,5}，𝑝=7．

(2)𝑘=2时，𝑝=3(9−2(𝑥+𝑦))，于是𝑝=3，𝑥+𝑦=4，枚举知矛盾．

(3)𝑘=3时，2𝑝=3(9−3(𝑥+𝑦))，9∣𝑝，矛盾．

(4)𝑘=4时，3𝑝=3(9−4(𝑥+𝑦))，于是𝑥+𝑦=2，𝑝=1，矛盾．

综上，一共6组解．