欧拉分解公式的若干应用

欧拉分解公式：

公式：\begin{aligned} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ =&\frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\\ =&(a+b+c)(a+\omega b+\omega^2c)(a+\omega^2b+\omega c)\\ =&\left|\begin{array}{cccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array}\right| \end{aligned}

其中𝜔为𝑥^(2)+𝑥+1=0的根．
由上述公式可以很快推出三元形式的算术-几何均值不等式：
𝑎,𝑏,𝑐≥0时，𝑎^(3)+𝑏^(3)+𝑐^(3)≥3𝑎𝑏𝑐．
特别地，当𝑎+𝑏+𝑐=0时，有𝑎^(3)+𝑏^(3)+𝑐^(3)=3𝑎𝑏𝑐．
下面来看几道与欧拉分解公式有关的题目：

1. 正实数𝑥满足

   公式：x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\text{，}

   求证：𝑥+𝑦=10．

证明

公式：\begin{aligned} &x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\\ \iff &x^3+y^3+(-10)^3-3xy\cdot(-10)\\ &=10^3-(x+y)^3\\ \iff &(x+y-10)(x^2+y^2+100-xy+10x+10y)\\ &=-(x+y-10)\left[(x+y)^2+10(x+y)+10\right] \end{aligned}

于是𝑥+𝑦=10或

公式：\begin{aligned} &x^2+y^2+100-xy+10x+10y\\ =&-(x+y)^2-10(x+y)-100\\ \iff &2x^2+2y^2+xy+20x+20y+200=0\\ \iff &(x+10)^2+(y+10)^2+(x^2+xy+y^2)=0 \end{aligned}

后一式子显然不成立，于是𝑥+𝑦=10．

2. 已知实数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎𝑏𝑐=−1，(𝑎^(2))/(𝑐)+(𝑏)/(𝑐^(2))=1，求𝑎𝑏^(5)+𝑏𝑐^(5)+𝑐𝑎^(5)的值．

解 设𝑎=−(𝑞)/(𝑝)，𝑏=−(𝑟)/(𝑞)，则𝑐=−(𝑝)/(𝑟)．
由(𝑎^(2))/(𝑐)+(𝑏)/(𝑐^(2))=1得𝑎^(2)𝑐+𝑏=𝑐^(2)，即

公式：\left(-\dfrac{q}{p}\right)^2\cdot\left(-\dfrac{p}{r}\right)+\left(-\dfrac{r}{q}\right)=\left(-\dfrac{p}{r}\right)^2

即

公式：\begin{aligned} &ab^5+bc^5+ca^5\\ =&\left(-\dfrac{q}{p}\right)\cdot\left(-\dfrac{r}{q}\right)^5+\left(-\dfrac{r}{q}\right)\cdot\left(-\dfrac{p}{r}\right)^5+\left(-\dfrac{p}{r}\right)\cdot\left(-\dfrac{q}{p}\right)^5\\ =&\dfrac{r^5}{pq^4}+\dfrac{p^5}{qr^4}+\dfrac{q^5}{rp^4}\\ =&\dfrac{p^9q^3+q^9r^3+r^9p^3}{p^4q^4r^4} \end{aligned}

由于

公式：x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\text{．}

公式：\begin{aligned} &p^9+q^3+q^9r^3+r^9p^3\\ =&(p^3q)^3+(q^3r)^3+(r^3p)^3\\ =&3\cdot p^3q\cdot q^3r\cdot r^3p\\ =&3p^4q^4r^4 \end{aligned}

即𝑎𝑏^(5)+𝑏𝑐^(5)+𝑐𝑎^(5)=3．

3. 因式分解：𝑥^(3)−18𝑥+35．

解

公式：\begin{aligned} &x^3-18x+35\\ =&x^3+2^3+3^3-3x\cdot 2\cdot 3\\ =&(x+2+3)(x^2+2^2+3^2-2x-3x-2\cdot 3)\\ =&(x+5)(x^2-5x+7) \end{aligned}

从上题可以看出，欧拉分解公式在处理三次多项式的因式分解问题中，能够发挥一定的作用．事实上，用上题的方法，我们可以推出一元三次方程的求根公式（卡丹公式）．
首先对于一般的一元三次方程

我们可以同除以系数𝑎，再作代换𝑧=𝑥+(𝑏)/(3𝑎)，将方程变为

公式：u=\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2-4p^3}}{2}},v=\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2-4p^3}}{2}}\text{．}

则

公式：\begin{aligned} &x^3-3px+q\\ =&x^3+u^3+v^3-3xuv\\ =&(x+u+v)(x+\omega u+\omega^2v)(x+\omega^2u+\omega v) \end{aligned}

故方程𝑥^(3)−3𝑝𝑥+𝑞=0的三个解为

公式：\begin{aligned} &x_1=-u-v\\ &x_2=-\omega u-\omega^2v\\ &x_3=-\omega^2 u-\omega v \end{aligned}

其中

公式：u=\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2-4p^3}}{2}},v=\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2-4p^3}}{2}}\text{．}

欧拉分解公式还出现在很多初高中数学竞赛的很多代数题中，其结构大多比较明显，在使用该公式进行分解后往往会将问题大幅简化，是代数恒等变形中的一大利器．