2016年浙江高考第8题的分析

昨天宋老师分享了2016年的浙江高考的第8题，这里分享一下我的做法．

已知实数𝑎，𝑏，𝑐．
(A)若|𝑎^(2)+𝑏+𝑐|+|𝑎+𝑏^(2)+𝑐|≤1，则𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)<100
(B)若|𝑎^(2)+𝑏+𝑐|+|𝑎^(2)+𝑏−𝑐|≤1，则𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)<100
(C)若|𝑎+𝑏+𝑐^(2)|+|𝑎+𝑏−𝑐^(2)|≤1，则𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)<100
(D)若|𝑎^(2)+𝑏+𝑐|+|𝑎+𝑏^(2)−𝑐|≤1，则𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)<100

优先考虑取特殊值来做排除。核心想法是让条件的两个绝对值内的数接近于0，而平方和尽可能大。（本题中的1和100其实只代表一个比较小的数和比较大的数，并无实际意义，想到这一点本题就不难了）

对选项(A)，令

故𝑎^(2)+𝑏=𝑎+𝑏^(2)，取𝑎=𝑏，𝑐=−(𝑎^(2)+𝑎)即可满足条件．但此时|𝑎|可以任意大，比如取𝑎=𝑏=10，𝑐=−110即得矛盾．

对选项(B)，令

故𝑎^(2)+𝑏=𝑐=0，同样的，取𝑎=10，𝑏=−100，𝑐=0即得矛盾．

对选项(C)，令

故𝑎+𝑏=𝑐=0，同样的，取𝑎=10，𝑏=−10，𝑐=0即得矛盾．

此时已经可以由排除法选出答案(D)了，但我们还是来看看(D)的不同之处．

对选项(D)，令

故𝑎^(2)+𝑏+𝑎+𝑏^(2)=0（注意到这和(A)的不同）． 即(𝑎+(1)/(2))^(2)+(𝑏+(1)/(2))^(2)=(1)/(2)，这说明此时𝑎和𝑏有界，从而𝑐也有界，无法再像之前那样取特殊值得到矛盾了．

下面我们来证明(D)成立．

先将条件进行化简，主要是去绝对值．

注意到|𝑥|+|𝑦|≤1表示的是由四条直线𝑥+𝑦=±1和𝑥−𝑦=±1所围成的正方形内部区域．

于是(D)的条件等价于

公式：\begin{cases} -1\le (a^2+b+c)+(a+b^2-c)\le 1\\ -1\le (a^2+b+c)-(a+b^2-c)\le 1 \end{cases}

由第一个式子知：

于是(𝑎+(1)/(2))^(2)≤(3)/(2)，即|𝑎|≤√((3)/(2))+(1)/(2)<2（随便估个界），同理|𝑏|<2．

由两个式子相加知：−1≤𝑎^(2)+𝑏+𝑐≤1，即|𝑐|≤1+𝑎^(2)+|𝑏|<7，于是𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)<57，证毕．