代数
共 131 篇 · 第 2 / 4 页 不等式、多项式、函数方程、数列与恒等变形
一分钟做不等式系列（5）——2025年北马其顿
看到大于1的条件想到换元就秒了，这次是真·一分钟
一分钟做不等式系列（4）——2024年白俄罗斯-伊朗友谊赛
过程比较长，但思路非常自然
一分钟做不等式系列（3）——2025年波兰第一轮第11题
1．这次应该是一秒钟，给的提示过于明显了。 2．最近先发一些之前翻译的题目，大多是翻译完就有思路或者做出来的题，读者后台供的题后面也会发。 3．应读者的要求，把不带答案的题目放在封面了，大家下次可以先思考再点进来。…
一分钟做不等式系列（2）——2023年IMO预选题A5
事实上本题还是有不小的难度的，求和再用绝对值不等式放缩的操作比较自然，但这个局部需要猜一猜。 改为求max{a 1,a {2023}}的最小值会更难一些，感兴趣的读者不妨试试
一分钟做不等式系列（1）——2025年INMO第4题
新开一个系列，分享一些被我“秒”的不等式，难度一般在联赛一左右，欢迎大家供题
恒等式与不等式的证明一例
下面是一个常见的恒等变形：ab+bc+ca+2abc=1 1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=2 a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)=2 此外，若 a,b,c≥ 0，…
解一道单墫老师征解题
题目：已知 a,c,m,n 均为正数，且 2c^2+mc-3an-m^2-n^2=0 nc^2-amc-am^2-an^2=0 求 (cn)/(am) 的值． 解答：由齐次性不妨设 (nc)/a=1，…
2024年CMO第一天部分试题解答
没去现场，上课间隙码一下个人解答，第1题偷懒没写引理的证明．
用Abel变换和加强归纳解一道高联代数题
2021年高联A2卷加试第三题是一个代数最值问题，题目如下：给定整数 n≥ 2 ．设非负实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1≥ a_2≥…≥ a_n，…
一道不等式问题
公众号原标题：【答读者问】一道不等式问题给定整数 n≥ 2，求最大的正整数 k，使得对任意 a_1≥ a_2≥…≥ a_n≥ 0，都有 ((a_1+a_2+…+a_k)/k)^2≥(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)/n. 解答：k 的最大值为 …
2023年阿里巴巴数学竞赛决赛最简单一题
题目1：（2023年阿里巴巴数学竞赛决赛 分析与方程赛道 第1题） 考虑序列 a_(n+1)=a_n+(a_n^2)/(n^2)，…
一个复数恒等式问题
公众号原标题：【数形结合】一个复数恒等式问题把六个复数对应到复平面上的六个点，用三角形相似证明题设的代数等式，进而得到二次和恒等式
2022年高联不等式分析
今天来看号称高联史上最难的不等式：2022年高联A卷第三题
2021年CMO复数题一种自然的做法
前两天有学生问到2021年CMO第一天第2题是怎么猜到答案的，这里写一个我的分析过程。题目：求最大的实数 λ，使得对任意正实数 p,q,r,s，都存在复数 z=a+bi （a,b），满足 |b|≥λ |a|，…
用数学归纳法证明一道俄罗斯不等式
假设 0≤ x_i≤ 1，求证：∏_(i=1)^n(1-x_ix_(i+1)+x_(i+1)^2)≥ 1，其中 x_(n+1)=x_1 ． 考虑到变量之间没有联系，待证式左边为求积形式，…
2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式另证
高航老师在公众号上发了2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式的一个证明：二次比一次结构巧解2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式题 事实上，…
既然命题人都出洛必达法则了，那我用积分不等式来做也不过分吧
这是前两天的金丽衢十二校二模试卷的最后一题：题干中介绍了不完全版的洛必达法则（还需要说明使用条件），第（3）问要证明的三角不等式可以先转换到区间 (0,(π)/2)，再求导证明。…
当斐波那契数列遇到切比雪夫多项式
龚固老师今天发了一篇文章：当斐波那契数列遇到不定方程 ． 我也凑个热闹，发个斐波那契数列与切比雪夫多项式相联系的练习题．题目比较简单，…
2024年印度EGMO代表队选拔考试不等式的解答
题目： 给定 a_1,a_2,…,a_10 是正实数，求 Σ_(i=1)^10⌊(7a_i)/(a_i+a_(i+1))⌋ 的最小值，…
一个代数恒等式的命制背景
匈牙利KöMaL2023年十月征解题B5335如下：1. 正实数 x,y,z 乘积为 1，求表达式 (x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2-(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z) 的所有可能值． …
解答一道较复杂的二元不等式
题目：已知正实数 a,b 满足 1/(a^2)+1/(b^2)=1/2 ．求 b/(a+1)+a/(b+1)+√(1/(a^2+b^2+1)) 的最小值． 答案：当 a=b=2 时，…
证明多项式不可约
解答学生问的一道题，之前在 26道多项式问题 中已整理过此题。证明多项式不可约 设 p 为素数．求证：f(x)=x^(p-1)+2x^(p-2)+…+p 在有理数域上不可约． 证明以下两个引理：若多项式 …
难倒很多人的最值问题，其实很简单
题目（来源：难倒很多人的最值问题2） 已知 k 为正常数，a,b 为正实数，若 a+k^2b=a^2b^3，求 1/a+1/(2k^2b) 的最小值． 解答：对条件式进行变形：a+k^2b=a^2b^3 …
解高航老师分享的一道题
题目：已知 a,b，设 f(x)=x^4-2023x，若 a≠ b，且 f(a)=f(b)=c(c>0), 求证：-√(c)< ab< 0 ． 证明：由 f'(x)=4x^3-2023=0 有唯一实根 x_0，…
今天生日，发道简单的不等式纪念一下
问题：正实数列 {a_n} 满足对任意正整数 n，都有 a_(n+1)^2≥ (a_1^2)/(1^3)+(a_2^2)/(2^3)+…+(a_n^2)/(n^3). 求证：存在正实数 N，…
2022年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）代数组
公众号原标题：2022年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）代数组——中文翻译2022年普林斯顿数学竞赛（代数A组） 程国根译 1. 给定多项式 f 和 g，满足对任意实数 x，都有 f(x)≥ g(x) ． f 和 g 的分隔线是指直线 h(x)=mx+k，满足对任意实数 x，…
是否存在满足要求的二元运算？
题目：给定实数 a≠ b，集合 X 中至少含有 a,b 两个元素．函数 f:X^3→ X 定义如下：f(x,y,z)= a,若x,y,z不为a b,若x,y,z中至少一数为a 是否存在二元运算 *:X^2→ X，…
一道函数迭代难题
公众号原标题：【习题研讨】一道函数迭代难题函数 f:R 满足对任意 x,y，都有 |f(x)-f(y)|≤ |x-y| ．且存在正整数 N，使得 f^((N))(0)=0，其中 f^((n)) 为 f 的 n 次迭代． （1）若 N 为奇数，求证：对任意 x，…
2023 年中国台湾 IMOC代数组
公众号原标题：2023 年中国台湾 IMOC代数组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023年IMO第一天试题解答
第1题 设 1=d_1< d_2< …< d_k=n 是合数 n 的全部正因数，若对任意 1≤ i≤ k-2，均有 d_i| d_(i+1)+d_(i+2)，…
单墫教授出的一道因式分解
单墫教授昨天在公众号单谈数学上发了此题：将 x^12+2^6 分解为整系数的多项式相乘，直至不能进一步分解（为整系数多项式相乘）． 首先，…
一道三元不等式简证
这是后台读者问的一道题，睡前写一下． 实数 a,b,c 满足 a^2+b^2+c^2=1，求 a+b+c-2abc 的最大值． 解答：取 a=b=(√(2))/2，c=0，…
一个代数恒等式
公众号原标题：【习题研讨】一个代数恒等式设 a_1,a_2,…,a_n 为两两不等的实数，求证：Σ_(i=1)^n(a_i∏_(j≠ i)(a_i+a_j)/(a_i-a_j))=Σ_(i=1)^na_i. …
两道高联模拟卷中的离散不等式解答
以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答． 已知 a_1,a_2,…,a_10 为整数，且满足 Σ_(k=1)^10ka_k=2023，…
一道困难的n元不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道困难的n元不等式给定正整数 n≥ 3 ．求所有实数 t，使得不等式 a_1+a_2+…+a_n-ta_1a_2… a_n≤ n-1 对满足 a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=n-1 的任意实数 a_1,a_2,…,a_n …
用Binet-Cauchy公式证明一道不等式
Binet Cauchy（比内 柯西）公式 1 现在我们用Binet Cauchy公式证明一道不等式：题目：正整数 n≥ 4，…
2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答
2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：给定实数 a∈(0,1) ．今知正数 x_0,x_1,…,x_n 满足条件 x_0+x_1+…+x_n=n+a 和 …
第十二届XMO不等式的推广及证明
第十二届XMO的二试第二题如下：已知 a_1,a_2,…,a_22∈[1,2]，求 (Σ_(i=1)^22a_ia_(i+1))/((Σ_(i=1)^22a_i)^2) 的最大值．（其中 a_23=a_1） …
2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）
公众号原标题：2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）——中文翻译代数、数论组 1. 非负整数 a,b,c,d 满足 (a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=2023. 求 a^3+b^3+c^3+d^3 ． 2. 求 a 的最大值，使得存在实数 b,c>1，…
2023年韩国数学奥林匹克决赛第6题不等式证明
对正整数 n≥ 3 和实数 a_1，…，a_n，b_1，…，b_n，求证：Σ_(i=1)^n a_i(b_i-b_(i+3))≤(3n)/8Σ_(i=1)^n((a_i-a_(i+1))^2+(b_i-b_(i+1))^…
