2023年阿里巴巴数学竞赛决赛最简单一题

题目1：（2023年阿里巴巴数学竞赛决赛 分析与方程赛道 第1题）

考虑序列a_(n+1)=a_(n)+(a2n)/(n^(2))，a_(1)=(2)/(5)．证明对所有正整数n都有a_(n)<1．

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证明：

由题意知：

公式：\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n+\frac{a_n^2}{n^2}}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_n+n^2}

由于

公式：\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{a_i+i^2}\\ =&\dfrac{1}{a_1+1^2}+\sum_{i=2}^{n-1}\dfrac{1}{a_i+i^2}\\ <&\dfrac{5}{7}+\sum_{i=2}^{n-1}\dfrac{1}{i^2}=\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{i^2}-\dfrac{2}{7}\\ <&\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{2}{7}<\dfrac{10}{6}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{29}{21}\\ <&\dfrac{3}{2} \end{aligned}

于是对n≥2，

公式：\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n}=&\dfrac{1}{a_1}-\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{a_i+i^2}\\ =&\dfrac{5}{2}-\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{a_i+i^2}\\ >&\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}=1 \end{aligned}

即a_(n)<1，n≥2，而a_(1)=(2)/(5)<1，证毕．

注： 也可以归纳证明：a_(n)<1−(1)/(n)，这样无需使用巴塞尔级数，是一个纯初等证明方法．

下面是两道类似题：

题目2：（2001年西部数学奥林匹克 第1题）

设数列{x_(n)}满足x_(1)=(1)/(2)，x_(n+1)=x_(n)+(x2n)/(n^(2))，n>1．求证：x_(2001)<1000．

注： 本题可加强到x_(n)<(3)/(2)．

题目3：（2012年西部数学奥林匹克 第6题）

设数列{a_(n)}满足a_(0)=(1)/(2)，a_(n+1)=a_(n)+(a2n)/(2012)，n≥0．求所有的整数k，使得a_(k)<1<a_(k+1)．