难倒很多人的最值问题，其实很简单

解答：

对条件式进行变形：

公式：\begin{aligned} &a+k^2b=a^2b^3\\ \iff&\frac{k^2}{a}+\frac{1}{b}=ab^2\\ \iff&\frac{k\sqrt{k}}{a}+\frac{1}{\sqrt{k}b}=\frac{a}{k\sqrt{k}}\cdot(\sqrt{k}b)^2 \end{aligned}

设x=(k√(k))/(a)，y=(1)/(√(k)b)，则条件变为

公式：x+y=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y^2}\iff x^2y^2+xy^3=1

待求最小值式

由

公式：\begin{aligned} &\left(x+\frac{y}{2}\right)^4-(x^2y^2+xy^3)\\ =&\frac{(4x^2+4xy-y^2)^2}{16}\ge 0 \end{aligned}

知

公式：\frac{1}{a}+\frac{1}{2k^2b}=\frac{1}{k\sqrt{k}}\left(x+\frac{y}{2}\right)\ge\frac{1}{k\sqrt{k}}

当且仅当x=(2−√(2))/(2)，y=√(2)，即a=(2+√(2))k√(k)，b=(1)/(√(2k))时，等号成立，故(1)/(a)+(1)/(2k^(2)b)的最小值为(1)/(k√(k))．