《中等数学增刊》一道代数题另证

解答：（以下用奇数n≥3代替2025）

取a_(1)=1，a_(2)=−1，a_(3)=⋯=a_(n)=0，得∑_(i=1)^(n)|a_(i)|=2，下证：∑_(i=1)^(n)|a_(i)|≥2．

若a_(i)中有1，则必有−1，不等式成立，下设a_(i)≠±1．

记f(x)=(x+1)/(x−1)，则∏_(i=1)^(n)f(a_(i))=1，且

由n为奇数，∏_(i=1)^(n)f(a_(i))>0知，f(a_(i))不全为负，于是存在|a_(i)|>1，不妨设a_(1)>1（将全体a_(i)改为−a_(i)，题目不变）．若存在a_(i)<−1，则不等式成立，下设a_(i)>−1．

由∣∏_(i=1)^(n)f(a_(i))∣=1知，存在|f(a_(i))|<1，不妨设它们为a_(2),⋯,a_(m)∈(−1,0)．则必有

若S=∑_(i=2)^(m)a_(i)≤−1，则不等式成立，下设S∈(−1,0)． 由(1+x)(1+y)(1−x−y)(1−x)(1−y)(1+x+y)=−2xy(x+y)≥0知

于是

从而

证毕．

（原解答比较繁杂，我的解答也可以写得再简洁一些，这里主要是为了体现解题思路）