这是两年前在B站上发的一道题，难度不大，但前段时间有人问局部不等式是怎么想到的。五一期间正好又给学生讲了这题，于是写一下这个局部的产生。
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题目：
正整数𝑛⩾2，实数𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛)∈[1,2]．求证：
3∑_(𝑘=1)^(𝑛)|𝑥_(𝑘)−𝑥_(𝑘+1)|+∑_(𝑘=1)^(𝑛)|𝑥_(𝑘)−𝑥_(𝑘+2)|⩽2∑_(𝑘=1)^(𝑛)𝑥_(𝑘).思路分析：
待定系数，将不等式两边都写为含𝑥_(𝑘),𝑥_(𝑘+1),𝑥_(𝑘+2)三项的求和形式．
∑_(𝑘=1)^(𝑛)(𝛼|𝑥_(𝑘)−𝑥_(𝑘+1)|+(3−𝛼)|𝑥_(𝑘+1)−𝑥_(𝑘+2)|+|𝑥_(𝑘)−𝑥_(𝑘+2)|);⩽ ∑_(𝑘=1)^(𝑛)(𝛽𝑥_(𝑘)+𝛾𝑥_(𝑘+1)+(2−𝛽−𝛾)𝑥_(𝑘+2));于是只需证明局部不等式：
对𝑎,𝑏,𝑐∈[1,2]，有
𝛼|𝑎−𝑏|+(3−𝛼)|𝑏−𝑐|+|𝑎−𝑐|⩽𝛽𝑎+𝛾𝑏+(2−𝛽−𝛾)𝑐.注意到不等式关于𝑎,𝑏,𝑐都是线性的，只需验证𝑎,𝑏,𝑐∈{1,2}的情况即可，其中𝑎=𝑏=𝑐时，不等式恒成立，下面考虑其余六种情况：
⎧⎩⎨⎪⎪𝛼⋅0+(3−𝛼)⋅1+1⩽𝛽⋅1+𝛾⋅1+(2−𝛽−𝛾)⋅2;𝛼⋅1+(3−𝛼)⋅1+0⩽𝛽⋅1+𝛾⋅2+(2−𝛽−𝛾)⋅1;𝛼⋅1+(3−𝛼)⋅0+1⩽𝛽⋅1+𝛾⋅2+(2−𝛽−𝛾)⋅2;𝛼⋅1+(3−𝛼)⋅0+1⩽𝛽⋅2+𝛾⋅1+(2−𝛽−𝛾)⋅1;𝛼⋅1+(3−𝛼)⋅1+0⩽𝛽⋅2+𝛾⋅1+(2−𝛽−𝛾)⋅2;𝛼⋅0+(3−𝛼)⋅1+1⩽𝛽⋅2+𝛾⋅2+(2−𝛽−𝛾)⋅1;即
⎧⎩⎨⎪⎪𝛽+𝛾⩽𝛼;𝛾⩾1;𝛼+𝛽⩽3;𝛼⩽𝛽+1;𝛾⩽1;𝛼+𝛽+𝛾⩾2;⟺⎧⎩⎨⎪⎪𝛾=1;𝛼=𝛽+1;0⩽𝛽⩽1;任取一组(𝛼,𝛽,𝛾)即可完成证明．
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