从限制条件个数出发的消元法：2018年高联加试P1的详细分析

题目（2018 年全国高中数学联赛加试 P1）

设 𝑛为正整数，𝑎_(1),…,𝑎_(𝑛),𝑏_(1),…,𝑏_(𝑛),𝐴,𝐵均为正实数，满足𝑎_(𝑖)≤𝑏_(𝑖)，𝑎_(𝑖)≤𝐴（1≤𝑖≤𝑛)．∏_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑏_(𝑖))/(𝑎_(𝑖))≤(𝐵)/(𝐴)证明：

思路分析

题目同时出现 𝑛对变量和两个整体变量 𝐴,𝐵，各条件又分布在不同层次．直接展开乘积会迅速产生大量下标，逐项比较也缺少对应关系．一个更自然的入口是先看每个变量参与了多少条约束．参与条件少的变量活动范围更清楚，配合单调性，常常可以直接压到允许区间的边界．到达边界后，相关变量若能从式子中退出，问题的维数就会下降一层．

一、从限制数量寻找入口

对固定的 𝑖，𝑎_(𝑖)同时受到 𝑎_(𝑖)≤𝑏_(𝑖)与 𝑎_(𝑖)≤𝐴的限制；𝑏_(𝑖)既和 𝑎_(𝑖)相连，又进入整体乘积．相比之下，𝐵只出现在条件∏_(𝑛)^(𝑖=1)𝑏_(𝑖)/𝑎_(𝑖)≤𝐵/𝐴以及待证式右端．因此 𝐵的允许范围最容易描述，先处理 𝐵可以最快减少条件的数量．

这种观察和几何中的消点法很接近．一张几何关系图里，某个点只连接少量直线、圆或角关系时，先处理这个点，往往能让整张图迅速变稀疏．代数中可以把变量看成点，把约束看成连线．每完成一次消元，就重新观察剩余变量的连接情况；原来处于次要位置的 变量，也可能在下一层承担主要约束．

二、先把 𝐵压到边界

记

由 𝑏_(𝑖)≥𝑎_(𝑖)可知 𝑅_(𝑘)≥1，所以当 𝑅≥1时， Φ_(𝑅)(𝑥)随 𝑥>0单调不减．

整体乘积条件给出 𝐵≥𝐴𝑅_(𝑛)．固定 𝐴后， (𝐵+1)/(𝐴+1)随 𝐵增大而增大，最小值出现在 𝐵=𝐴𝑅_(𝑛)． 于是右端可压缩成 Φ_(𝑅_(𝑛))(𝐴)，原问题只需继续研究 𝐿_(𝑛)≤Φ_(𝑅_(𝑛))(𝐴)．此时 𝐵已经离开后续计算，整体乘积条件也被吸收到 𝑅_(𝑛)中．

三、排序把 𝐴的多条限制压成一条

各对 (𝑎_(𝑖),𝑏_(𝑖))在两个乘积中的地位完全相同，可以同时交换下标． 取 𝑎_(1)≤𝑎_(2)≤⋯≤𝑎_(𝑛)．原来的𝐴≥𝑎_(1),…,𝐴≥𝑎_(𝑛)便合并为 𝐴≥𝑎_(𝑛)．

函数 Φ_(𝑅_(𝑛))单调不减，所以允许的 𝐴中，𝐴=𝑎_(𝑛)给出最小的 右端．问题继续缩成 𝐿_(𝑛)≤Φ_(𝑅_(𝑛))(𝑎_(𝑛))．这时 𝐴也到达了边界， 最后一对变量开始具备消去的条件．

四、第 𝑛对变量从乘积中脱落

把第 𝑛对变量单独拆出：

𝑎_(𝑛)已经完全消失，𝑏_(𝑛)也不再出现在原来的两个乘积中．剩余变量只有 前 𝑛−1对，右端仍保留 Φ_(𝑅)(𝑥)的形式．

排序又给出 𝑎_(1)≤⋯≤𝑎_(𝑛−1)≤𝑎_(𝑛)≤𝑏_(𝑛)，因此 𝑏_(𝑛)成为剩余 所有 𝑎_(𝑖)的共同上界，正好接过 𝐴的位置．昔日屠龙少年，终成恶龙：刚刚还属于被消去的第 𝑛对变量， 转眼已经成为下一层的上界变量．

五、同一结构开始重复

当前式子是 𝐿_(𝑛−1)≤Φ_(𝑅_(𝑛−1))(𝑏_(𝑛))．由 𝑏_(𝑛)≥𝑎_(𝑛−1)以及 Φ_(𝑅_(𝑛−1))的单调性，可以把新的上界继续 压到 𝑎_(𝑛−1)．到达 𝑎_(𝑛−1)后，第 𝑛−1对变量按照完全相同的 代数方式从乘积中脱落，𝑏_(𝑛−1)随即接过上界角色．

写成第 𝑘层的形式，就是

第一行负责去掉第 𝑘对变量中的乘积因子，第二行把刚出现的 𝑏_(𝑘)压到下一层边界．两步交替进行，变量数每次减少一个．

六、消元链的顺序

从变量角色看，整个过程沿着

推进．𝐴→𝑎_(𝑛)来自单调性，𝑎_(𝑘)→𝑏_(𝑘)对应第 𝑘对变量从乘积中 脱落，𝑏_(𝑘)→𝑎_(𝑘−1)再次来自单调性．每一层都保持同一种函数形式， 所以新的变量无需重新设计处理方法．

七、最后一层

当只剩第一对变量时，𝑅_(1)=𝑏_(1)/𝑎_(1)，𝐿_(1)=(𝑏_(1)+1)/(𝑎_(1)+1)，并且Φ_(𝑅_(1))(𝑎_(1))=(𝑏_(1)+1)/(𝑎_(1)+1)．消元链在这一层落到等号，前面的各层便依次闭合．

接下来只需倒过来，用数学归纳法的方式写出证明即可，留给读者完成．