2023年以色列复仇赛

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\begin{document}
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\section*{2023年以色列复仇赛}
\flushright 程国根\quad 译
\ex 犰狳和獾正在玩一个游戏．犰狳选择了一棵非空的树（无环的连通图），在它的一些顶点放置苹果（一个顶点上可能有几个苹果）．首先，獾选择了一个顶点$v_0$并吃掉了该顶点上所有的苹果．接下来，犰狳和獾交替进行，由犰狳开始．在第$i$轮，轮到的动物选择与$v_{i-1}$相邻的一个顶点$v_i$（之前未被选中），并吃掉该顶点上所有的苹果．当没有这样的顶点$v_i$时，游戏结束．

犰狳的目标是在游戏结束时吃的苹果比獾多，它能实现愿望吗？
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\ex $\triangle ABC$内接于圆$\Omega$，$A$-伪内切圆与$\Omega$的切点为$T$．点$E,F$分别在边$AC,AB$上，满足$EF\parallel BC$，且$\odot(TEF)$和$\Omega$相切．设$\triangle AEF$的$A$-旁切圆$\omega$和直线$EF,AE,AF$分别切于点$K,Y,Z$．直线$AT$和$\omega$交于$P,Q$两点（$P$在$A,Q$之间），直线$QK$和$YZ$交于点$V$，$\omega$在$P$处的切线与$\Omega$在$T$处的切线交于点$U$．求证：$UV\parallel BC$．
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\ex 求所有（非严格）递增的函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$f(f(x)+y)=f(f(y)+x)$．
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\ex 设$c$为正实数，非负整数列$a_{1},a_{2},\cdots$满足以下条件：对任意正整数$n$，
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item $\dfrac{2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+\cdots+2^{a_{n}}}{n}$为整数；
\item $2^{a_{n}}\le cn$．
\end{enumerate}
求证：$a_{1},a_{2},\cdots$为最终常数数列．
\vfill
\end{document}