赛题翻译
2023年以色列数学奥林匹克
公众号原标题：2023年以色列数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 480 字公式 61 处1 图
2000人围坐在一张圆桌旁．他们每个人要么是讲真话的人（总是讲真话），要么是撒谎的人（总是撒谎）．每个人都说“在我旁边右边的三个人中，至少有两个是骗子"．这个圆桌边共有多少个讲真话的人？
非负整数𝑥,𝑦满足√(𝑥)+√(𝑥+60)=√(𝑦)．求𝑥的最大可能值．
给定三角形△𝐴𝐵𝐶和一个任意的圆𝜔．令𝛼和𝜔关于点𝐴对称，𝛽和𝜔关于点𝐵对称，𝛾和𝜔关于点𝐶对称．已知圆𝛼,𝛽,𝛾互不相交．
设𝑃为𝛽和𝛾两条内公切线的交点．同样地，𝑄为𝛼和𝛾两条内公切线的交点，𝑅是𝛼和𝛽两条内公切线的交点．
证明：△𝑃𝑄𝑅和△𝐴𝐵𝐶全等．对每个正整数𝑛，求所有三元实数组(𝑎,𝑏,𝑐)，使得
公式：\begin{cases}
a=b^n+c^n\\
b=c^n+a^n\\
c=a^n+b^b
\end{cases}设△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，边长为1．𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点分别为𝑀,𝑁．在𝐴𝐶上取点𝐾,𝐿，使𝐾𝐿𝑀𝑁为矩形．在这个矩形内有三个半径相同的半圆，如图所示（端点在矩形的边缘上，圆弧相切）．求半圆半径的最小可能值．
是否存在一个由5783个不同实数组成的集合𝑆，满足以下条件：
对于𝑆中的任意𝑎,𝑏（不一定不同），𝑆中都存在𝑐≠𝑑，使得𝑎⋅𝑏=𝑐+𝑑．Ana和Banana正在玩一个游戏．起初，Ana秘密地挑选了一个数字1≤𝐴≤10^(6)．在接下来的每轮游戏中，Banana可以挑选一个正整数𝐵，Ana会向他透露积𝐴⋅𝐵中出现最多次的数码（用十进制符号书写）．在至少有两个数码并列的情况下，Ana将向Banana透露所有这些数码．例如，如果𝐴⋅𝐵=2022，Ana会告诉Banana，数码2出现了最多次，而如果𝐴⋅𝐵=5783783，Ana会说3、7和8均出现了最多次．Banana的目标是在一定的回合数后确定数字𝐴．他有获胜的策略吗？
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