2026年以色列IMO代表队选拔考试

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1. 第一天第 1 题　在 $\triangle ABC$ 中，$I$ 为内心。记点 $A$ 在 $\angle ABC,\angle ACB$ 的角平分线上的射影分别为点 $E,F$，$\odot(BIF)$ 和 $\odot(CIE)$ 再次交于点 $P$，点 $N$ 为弧 $BAC$ 的中点。求证：$P,I,N$ 三点共线。
2. 第一天第 2 题　求所有函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意 $x,y\in\mathbb{R}$，都有 $f(x+f(y))+f(f(f(x))-y)=2x$。
3. 第一天第 3 题　对正整数 $n$，记 $\sigma(n)$ 为 $n$ 的全体正约数之和。求证：存在无穷多个正整数 $m$，使得恰有一个正整数 $n$，满足 $\sigma(n)=m$。
4. 第二天第 4 题　设 $b,c,d,x,y$ 为正整数。数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_0=x$，$a_1=y$，且对 $n\ge 2$，$a_n=ba_{n-1}+ca_{n-2}+d$。求证：对任意正整数 $m$，存在下标 $i$，使得 $a_i,a_{i+1},\dots,a_{i+m-1}$ 均不为素数。
5. 第二天第 5 题　有限数量的蚂蚁在半径为 1 的圆形桌面上爬行，每只蚂蚁的速度均为 1。每当两只蚂蚁相遇，它们会选择一个方向，其中一只蚂蚁朝该方向转弯，另一只则朝相反方向行进（两者速度仍为 1）。假设从未有 3 只或更多蚂蚁处于同一位置。当所有蚂蚁都从桌面上掉落时，该过程结束。（1）该过程能否永远持续下去？（2）是否存在一个与蚂蚁数量无关的常数 $C$，使得所有蚂蚁至多在 $C$ 个单位时间内全部掉落？
6. 第二天第 6 题　在 $\triangle ABC$ 中，$I$ 为内心，内切圆 $\omega$ 的一条切线 $\ell$ 与 $BC$ 交于点 $D$，与 $AC,AD$ 分别交于点 $E,F$。$\odot(BDF)$、$\odot(CDE)$ 的公切线交于点 $X$。求证：$\angle AIX=90^\circ$。