2026年以色列复仇赛

题1. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，𝑂为其外心，直线𝐴𝑂与𝐵𝐶交于点𝑋．记Ω_(1)、Ω_(2)分别为△𝐴𝑋𝐵与△𝐴𝑋𝐶的九点圆，设Ω_(1)与Ω_(2)的两条外公切线交于点𝑃．

求证：𝐴𝑃平分直线𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角．

题2. 求所有函数𝑓:ℕ_(+)→ℕ_(+)，使得对任意正整数𝑚,𝑛，都有

题3.给定平面上的一个有界凸图形 𝑇与正整数𝑛．试求最小的常数𝐶（表示为𝑇和𝑛的函数），使得对𝑇内任意2𝑛个点，总能将其划分为两个元素个数相等的子集，且这两个子集的质心之间的距离不超过𝐶．

注：若一个图形 𝑇是所有包含它的半平面的交集，则称 𝑇为凸图形．

题4. 求出所有形如 𝐺(𝑃)(𝑥)=∣𝐹(𝑃)(𝑥)∣的函数 𝐺:ℝ[𝑥]→ℝ^(ℝ)，其中 𝐹:ℝ[𝑥]→ℝ[𝑥]是实系数一元多项式环上的映射，且对任意多项式 𝑃,𝑄均满足以下四条性质：

(1) 保复合性：𝐹(𝑃∘𝑄)=𝐹(𝑃)∘𝐹(𝑄)；
(2) 保次数性：deg⁡𝐹(𝑃)=deg⁡𝑃；
(3) 若存在正奇数𝑛使得deg⁡𝑄=𝑛⋅deg⁡𝑃，且多项式𝑃整除𝑄，则𝐹(𝑃)整除𝐹(𝑄)；
(4)𝐹的像集不包含于全体单项式构成的集合，即𝐹(ℝ[𝑥])⊈{𝐶𝑥^(𝑛)∣𝐶∈ℝ, 𝑛∈ℕ_(+)}．

注：约定零多项式的次数为 0，即 deg⁡0=0．