2026年德国数学奥林匹克

第一天

题1. 求所有正整数𝑛，使得以下组合数均为奇数：

题2. 给定正整数 𝑚,𝑛满足0<𝑚<𝑛．考虑全体非负整数：初始时仅有𝑚和𝑛被染为红色，其余所有数均为白色．我们按照以下规则逐步对数字进行染色操作，每一步流程如下：
(1)统计当前红色数字的数量．若红色数字不超过1个，则过程终止．
(2)否则，记𝑘为当前最小的红色数字，将数字𝑘染为黑色．
(3)随后考察𝑘+𝑚与𝑘+𝑛两个数：

• 若该数为红色，则将其染为黑色；
• 若该数为白色，则将其染为红色；
• 若该数已为黑色，则保持黑色不变．

证明：
(1)无论 𝑚,𝑛取何值，该过程必然在有限步内终止，且终止时恰好剩下一个红色数字 𝑟．
(2)终止时的唯一红色数字满足 𝑟≤2^(𝑛)−1．

题3. 设𝑎,𝑏,𝑐为一个三角形的三边长．求最大的正整数𝑀，使得对任意满足条件的𝑎,𝑏,𝑐，都有

第二天

题4. 已知数列 {𝑎_(𝑛)}的前两项 𝑎_(1),𝑎_(2)为整数，从第3项起，数列由如下递推公式定义：

求出所有能使该数列为最终周期数列的初值 𝑎_(1),𝑎_(2)，并分别求出对应情形下的最小正周期．

题5. 给定素数 𝑝与正整数 𝑎，𝑝∤𝑎−1．令𝑛=1+𝑎^(𝑝)+𝑎^(2𝑝)+⋯+𝑎^((𝑝−1)𝑝)．求证：𝑛∣𝑎^(𝑛)−𝑎．

题6. 设圆 𝑘与圆𝑘^(′)相交，𝑃为两圆的其中一个交点．作直线𝑔平行于两圆的一条公切线，且位于远离点𝑃的一侧．直线𝑔与圆𝑘交于𝐴、𝐶两点，与圆𝑘^(′)交于𝐵、𝐷两点，且四点在直线𝑔上按𝐴,𝐵,𝐶,𝐷的顺序排列． 记直线𝑔与∠𝐴𝑃𝐵的角平分线的交点为𝑋，与∠𝐶𝑃𝐷的角平分线的交点为𝑌． 求证：△𝑃𝑋𝐶的外接圆、△𝑃𝐵𝑌的外接圆，以及∠𝐵𝑃𝐶的角平分线，三者存在一个异于点𝑃的公共点．