2026年ELMO

第一天

考试时间：2026 年6 月13 日美国东部时间12:30–17:00

考试时长：4 小时30 分钟

每题分值：7 分

题1.设𝑃_(1),𝑃_(2),𝑃_(3)是圆Ω上三个互不相同的点．对所有满足1≤𝑖≤23的正整数𝑖，定义点𝑃_(𝑖+3)为点𝑃_(𝑖)关于直线𝑃_(𝑖+1)𝑃_(𝑖+2)的对称点．求证：直线𝑃_(20)𝑃_(26)与圆Ω相切．

题2.定义𝑛阶拉丁方阵：一个𝑛×𝑛方格表，每个格子填入1到𝑛中的一个正整数，使得每行、每列都恰好包含1到𝑛各一次．

称四个数构成的四元组是稳定的：若这四个数中恰好有 2个或恰好有 4个互不相同的数值．

求所有正整数 𝑛，使得存在一个 𝑛阶拉丁方阵，满足：任意四个不同格子构成网格矩形的四个角时，这四个格子内的数字都构成稳定四元组．

题3.求所有整数𝑛≥2，使得存在整系数多项式𝑃(𝑥)∈ℤ[𝑥]，其次数不超过0.9𝑛，且满足：𝑃在模𝑛下的值域与𝑃在模𝑛下的零点集合完全相等．

补充定义：
（1）𝑃模𝑛的值域：所有满足0≤𝑦≤𝑛−1，且存在正整数𝑥使得𝑛∣𝑃(𝑥)−𝑦的整数𝑦构成的集合；
(2)𝑃模𝑛的零点集：所有满足0≤𝑥≤𝑛−1，且𝑛∣𝑃(𝑥)的整数𝑥构成的集合．

第二天

考试时间：2026 年6 月18 日美国东部时间12:00–16:30

考试时长：4小时30分钟

每题分值：7 分

题4.对整数 𝑛，记 𝜏(𝑛)为 𝑛的正约数个数．对每个正整数 𝑘，定义集合

若两个正整数 𝑎,𝑏满足 𝑆_(𝑎)=𝑆_(𝑏)，求证：对任意正整数 𝑛≥1，均有 𝜏(𝑎^(𝑛))=𝜏(𝑏^(𝑛))．

注：两个集合相等，当且仅当一个集合中的每个元素都属于另一个集合．

题5.记 ℕ为全体正整数构成的集合．求所有函数 𝑓:ℕ→ℕ，使得对任意正整数 𝑚,𝑛，均满足

题6.给定正整数 𝑛．在一个圆周上选取 𝑛(𝑛+1)个点，将每个点染为 𝑛种颜色之一，且每种颜色恰好出现 𝑛+1次．

埃尔莫希望选出 𝑛条互不重叠的圆弧，满足：
(1)每条圆弧的两个端点均为所选点，且两点同色；
(2)这 𝑛条圆弧各自对应的颜色互不相同．

求证：埃尔莫至少有 𝑛+1种不同的选取方案．