MOP 2026家庭作业问题

题1. 设𝑃是整系数多项式，满足对任意正整数𝑛，都有𝑛∣𝑃(2^(𝑛))．证明𝑃是零多项式．

题2. 称正整数𝑛是好的，如果存在1,2,…,𝑛的一个排列𝑎_(1),𝑎_(2),…,𝑎_(𝑛)，使得对每个1≤𝑘≤𝑛，𝑘+𝑎_(𝑘)都是完全平方数．求集合{11,13,15,17,19}中的所有好数．

题3. 设正整数𝑎_(1),𝑎_(2),…,𝑎_(2006)（其中某些可以相等）满足如下条件：分数

中任意两个都不相等．则𝑎_(1),𝑎_(2),…,𝑎_(2006)中至少有多少个不同的数？

题4. 在三角形𝐵𝐶𝐹中，∠𝐵为直角．设𝐴是直线𝐶𝐹上的点，满足𝐹𝐴=𝐹𝐵且𝐹在𝐴与𝐶之间．取点𝐷使得𝐷𝐴=𝐷𝐶且𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．取点𝐸使得𝐸𝐴=𝐸𝐷且𝐴𝐷平分∠𝐸𝐴𝐶．设𝑀是𝐶𝐹的中点．取点𝑋使得𝐴𝑀𝑋𝐸是平行四边形．证明𝐵𝐷、𝐹𝑋和𝑀𝐸三线共点．

题5. 设𝜑(𝑥)=𝑎𝑥^(3)+𝑏𝑥^(2)+𝑐𝑥+𝑑是实系数多项式．已知𝜑(𝑥)有三个正实根且𝜑(0)<0，证明

题6. 设𝐴𝐵𝐶是不等边三角形，垂心为𝐻，外心为𝑂．记𝑀、𝑁分别为𝐴𝐻、𝐵𝐶的中点．设以𝐴𝐻为直径的圆𝛾与三角形𝐴𝐵𝐶的外接圆交于异于𝐴的点𝐺，与直线𝐴𝑁交于异于𝐴的点𝑄．圆𝛾在𝐺处的切线与直线𝑂𝑀交于点𝑃．证明三角形𝐺𝑁𝑄与三角形𝑀𝐵𝐶的外接圆交于𝑃𝑁上的一点𝑇．

题7. 求下面方程的所有素数解：

题8. 在𝐴𝐵≠𝐴𝐶的三角形𝐴𝐵𝐶中，设其内切圆分别与边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵相切于𝐷、𝐸、𝐹．∠𝐵𝐴𝐶的内角平分线分别与直线𝐷𝐸、𝐷𝐹交于𝑋、𝑌．设𝑆、𝑇是边𝐵𝐶上两个不同的点，满足

设𝛾是三角形𝐴𝑆𝑇的外接圆．证明𝛾与三角形𝐴𝐵𝐶的外接圆和内切圆都相切．

题9. 设𝑀是平面上由𝑛个点组成的集合，满足如下两个条件：

(1)𝑀中存在七个点构成一个凸七边形的顶点；

(2)只要𝑀中的五个点构成一个凸五边形的顶点，就存在𝑀中的一个点在该五边形的内部．

求𝑛的最小可能值．

题10. 假设每个正整数都被染成红色或蓝色．证明存在一个严格递增的无穷正整数序列

使得

是一个所有项颜色都相同的无穷正整数序列．

题11. 对正整数的有限集𝑋，定义

给定正整数的有限集𝑆满足Σ(𝑆)<(𝜋)/(2)，证明存在正整数的有限集𝑇，使得

题12. 设三角形𝐴𝐵𝐶的内切圆(𝐼)与𝐵𝐶相切于𝐷．直线𝐼𝐷与(𝐼)再次交于𝐾，设ℓ是(𝐼)在𝐾处的切线．取点𝐸,𝐹∈ℓ使得∠𝐸𝐼𝐹=90^(∘)．设𝐸𝐼、𝐹𝐼分别与三角形𝐴𝐸𝐹的外接圆交于异于𝐸的点𝐸^(′)和异于𝐹的点𝐹^(′)．证明三角形𝐴𝐵𝐶的外心𝑂在直线𝐸^(′)𝐹^(′)上．

附加题1. 设𝑠_(1),𝑠_(2),…,𝑠_(𝑛)是独立随机变量，取值于集合Ω，令

为得到的Ω的随机子集．设𝐼,𝐽⊆Ω是不相交的集合．证明

附加题2. 设𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺是中心为𝑂的正七边形．设H是经过𝐴,𝐵,𝐶,𝐸,𝑂五点的双曲线．求H的两条渐近线之间的锐角．