2026年哥伦比亚数学奥林匹克

第一天

题1. 11名学生参加一场锦标赛．锦标赛包含从22个可选项目中选出的11个比赛项目．这11个选定的项目仅在比赛当天才会公布，且每名学生必须恰好参加其中一个项目．
要赢得比赛，学生们必须赢下全部11个选定的项目．为确保能赢得锦标赛，学生们决定提前准备．已知每名学生花1小时准备就能精通一个项目，从而保证在该项目中获胜．每名学生各自准备，但他们会提前商定好每个人练习哪些项目．
求无论比赛当天需要参加哪些项目，都能保证赢得锦标赛所需的最少总准备时长．

题2. 设𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，满足𝐴𝐵<𝐴𝐶，𝑀是线段𝐴𝐶的中点．点𝐷在𝐴𝐶上，且满足𝐷𝐵=𝐷𝐶，𝐸是三角形𝐴𝐵𝑀的外接圆与直线𝐵𝐷的交点（异于𝐵）．设𝑃、𝑄分别是直线𝐵𝐶与直线𝐸𝑀、𝐴𝐸的交点．证明𝑃是线段𝐵𝑄的中点．

题3. 设𝑎≥2为正整数．对于正整数𝑚，定义𝑐(𝑚)为整除𝑚的最大平方数．称序列𝑎_(0),𝑎_(1),…为哥伦比亚序列，若它满足𝑎_(0)=𝑎，且对任意𝑛≥0，有

求所有属于每一个哥伦比亚序列的整数．

第二天

题4. 设𝑎和𝑏是两个正实数，且𝑏≠1．费利佩执行如下操作：
第一步，他在一张纸上写下数字𝑎．之后每一步，他都将上一步写下的数字乘以𝑏，再写在纸上．
当纸上出现大于100的数，或者出现非整数时，费利佩停止书写． 求这张纸上最多能写下多少个数字？

题5. 求所有实数𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(100)，使得

题6. 设𝑛为正整数．初始时，一个𝑛×𝑛棋盘的所有格子均为白色．每一步操作允许将棋盘上的一个格子涂成黑色，前提是操作完成后，每一个白色格子都至少与另外两个白色格子有公共边．求最多可以将多少个格子涂成黑色．