2026年高联B卷几何命题思路分析：如何尺规作图作出更接近√π的长度

从 355/113 出发

若以尺规作图为出发点，首先要选定一个可作的目标长度。

尺规可构造数一定是代数数，而 𝜋是超越数，因此 √(𝜋)不能被尺规精确作出。一个自然的办法，是先取优良的有理逼近 𝑟≈𝜋，再作出 √(𝑟)。

355/113是 𝜋的连分数收敛分数；紧随其后的部分商 292很大，所以它的逼近精度格外高。事实上，

于是，把 √(355/113)作为尺规目标十分合适。

令

这个恒等式给出了构图的次序：先作 𝑢，再作 𝑢/2,𝑢/3；分别完成一次平方减法和平方加法；最后乘 3/2，并取两段长度之比。

一、作出母长度𝑢

由

可先取 4=2^(2)为共同基准。

作半径为 1的圆，取直径 𝑃𝑅=2，圆心为 𝑂；在 𝑂𝑅上取 𝑇，使 𝑂𝑇=2/3。过 𝑇作 𝑃𝑅的垂线交圆于 𝑄，则 𝑇𝑄=√(5)/3。

再以 𝑅为圆心、𝑇𝑄为半径作圆，与原圆交于 𝑆。因为 𝑃𝑅是直径，

故 𝑃𝑆=𝑢。

二、作出𝑢/2与𝑢/3

有了 𝑃𝑆=𝑢，接下来只需作两个有理倍数。

由于 𝑂是 𝑃𝑅的中点，过 𝑂作 𝑅𝑆的平行线交 𝑃𝑆于 𝑀，由相似三角形得

所以 𝑃𝑀=𝑢/2。

又因为 𝑂𝑇=2/3，有 𝑃𝑇/𝑃𝑅=5/6。过 𝑇作 𝑅𝑆的平行线交 𝑃𝑆于 𝑁，则

点 𝑇在这里恰好兼顾了根式构造和分点比例。

三、分别构造两个根式

现在需要作出

在原圆上取 𝐾，使 𝑃𝐾=𝑃𝑀=𝑢/2。由于 𝑃𝑅是直径，∠𝑃𝐾𝑅=90^(∘)，故

再在 𝑃点作圆的切线，并在切线上截取 𝑃𝐿=𝑀𝑁=𝑢/3。由 𝑃𝐿⊥𝑃𝑅，有

四、完成最后的比例合成

此时

还需补上因子 3/2。

取 𝑃𝑂的中点 𝐻，则 𝑅𝐻=3/2。在 𝑅𝐾上截取 𝑅𝐶=𝑅𝐻，连接 𝐾𝐿，过 𝐶作 𝐾𝐿的平行线交 𝑅𝐿于 𝐷。

由 △𝑅𝐶𝐷∼△𝑅𝐾𝐿，

至此，完整构型得到，这就是今年高中数学联赛B卷的几何题。

原题

如图，设 𝑃𝑅是半径为 1的圆 𝑂的直径，点 𝐻是线段 𝑃𝑂的中点，线段 𝑂𝑅上的点 𝑇满足 𝑇𝑅=(1)/(3)。圆周上的点 𝑄,𝑆满足 𝑇𝑄⊥𝑃𝑅，且 𝑅𝑆=𝑇𝑄。

弦 𝑃𝑆上的点 𝑀,𝑁满足 𝑂𝑀∥𝑇𝑁∥𝑅𝑆。圆周上的点 𝐾满足 𝑃𝐾=𝑃𝑀。直线 𝑃𝐿是圆的切线且 𝑃𝐿=𝑀𝑁。弦 𝑅𝐾上的点 𝐶满足 𝑅𝐶=𝑅𝐻，线段 𝑅𝐿上的点 𝐷满足 𝐶𝐷∥𝐾𝐿。

证明

思路分析

若从题面正向求解，最直接的入口在最后一组平行线。

由 𝐶𝐷∥𝐾𝐿可得 △𝑅𝐶𝐷∼△𝑅𝐾𝐿，于是

而 𝑅𝐶=𝑅𝐻=3/2，所以问题归结为求 𝑅𝐾与 𝑅𝐿。

这两段长度分别来自两个直角三角形。𝐾在以 𝑃𝑅为直径的圆上，故

𝑃𝐿是 𝑃点切线，故

题设又把 𝑃𝐾,𝑃𝐿分别转成 𝑃𝑀,𝑀𝑁，因此只需回到弦 𝑃𝑆上求出这两段分点长度。

最后利用 𝑂𝑀∥𝑇𝑁∥𝑅𝑆，可由 △𝑃𝑅𝑆的相似关系得到

而 𝑃𝑆由最前面的单位圆数据确定：𝑂𝑇=2/3给出 𝑇𝑄^(2)=5/9，再由 𝑅𝑆=𝑇𝑄和 ∠𝑃𝑆𝑅=90^(∘)得 𝑃𝑆^(2)=31/9。

因此整条长度链为

完整过程

圆半径为 1，故 𝑃𝑅=2。由 𝑇𝑅=(1)/(3)得 𝑂𝑇=(2)/(3)。

在直角三角形 𝑂𝑇𝑄中，

又 𝑅𝑆=𝑇𝑄，故 𝑅𝑆^(2)=(5)/(9)。由于 𝑃𝑅是直径，∠𝑃𝑆𝑅=90^(∘)，从而

由 𝑂𝑀∥𝑅𝑆得 𝑃𝑀=𝑃𝑆/2。又因 𝑇𝑁∥𝑅𝑆且 𝑃𝑇/𝑃𝑅=5/6，有 𝑃𝑁=5𝑃𝑆/6，故 𝑀𝑁=𝑃𝑆/3。于是

点 𝐾在以 𝑃𝑅为直径的圆上，所以

而 𝑃𝐿是圆在 𝑃点的切线，故 𝑃𝐿⊥𝑃𝑅，于是

又因 𝐻是 𝑃𝑂的中点，

由 𝐶𝐷∥𝐾𝐿，△𝑅𝐶𝐷∼△𝑅𝐾𝐿，故

证毕。

总结

从命题角度看，355/113先决定两个勾股关系和共有的 √(31)，1/2,1/3的比例继而确定 𝑂,𝑇的位置，中点 𝐻再补上最后的 3/2。

整张图正是把这串代数关系逐项翻译成圆、平行线、切线和相似三角形。