数学竞赛每日一练 第8期解答

证明

∑_(𝑘=1)^(𝑛)𝑎_(𝑘)𝑧_(𝑘)=0时，结论显然成立．

∑_(𝑘=1)^(𝑛)𝑎_(𝑘)𝑧_(𝑘)≠0时，总能选取𝜃∈[0,2𝜋]，使得(∑_(𝑘=1)^(𝑛)𝑎_(𝑘)𝑧_(𝑘))𝑒^(𝑖𝜃)为实数，则用𝑧_(𝑘)𝑒^(𝑖𝜃)替换𝑧_(𝑘)，不等式不变．此时设𝑧_(𝑘)=𝑥_(𝑘)+𝑖𝑦_(𝑘)(1≤𝑘≤𝑛)，则

公式：\sum\limits_{k=1}^na_kz_k=\sum\limits_{k=1}^na_kx_k

于是

公式：\begin{align*} \left|\sum\limits_{k=1}^na_kz_k\right|^2=&\left(\sum\limits_{k=1}^na_kx_k\right)^2\\ \leq&\left(\sum\limits_{k=1}^na_k^2\right)\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^2 \end{align*}

又

公式：\begin{align*} \left|\sum\limits_{k=1}^nz_k^2\right|=&\left|\sum\limits_{k=1}^n\left(x_k^2-y_k^2\right)+2i\sum\limits_{k=1}^nx_ky_k\right|\\ \geq&\sum\limits_{k=1}^n\left(x_k^2-y_k^2\right) \end{align*}

则

公式：\begin{align*} &\left(\sum\limits_{k=1}^n\left|z_k\right|^2+\left|\sum\limits_{k=1}^nz_k^2\right|\right)\\\geq&\sum\limits_{k=1}^n\left(x_k^2+y_k^2\right)+\sum\limits_{k=1}^n\left(x_k^2-y_k^2\right)\\ =&2\sum\limits_{k=1}^nx_k^2 \end{align*}

综上可知，

公式：\left|\sum\limits_{k=1}^na_kz_k\right|^2\leq\dfrac{1}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^na_k^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^n\left|z_k\right|^2+\left|\sum\limits_{k=1}^nz_k^2\right|\right)

成立．