2021-06-12 系列：数学竞赛每日一练含解答

数学竞赛每日一练第9期解答

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 137 字公式 55 处

数列{𝑥_(𝑛)}满足𝑥_(1)=(7)/(2)，𝑥_(𝑛+1)=𝑥_(𝑛)(𝑥_(𝑛)−2)．设𝑥_(2021)=(𝑎)/(𝑏)，其中𝑎,𝑏∈ℕ且互素．求证：若𝑝为𝑎的一个素因子，则3∣𝑝−1或𝑝=3．

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证明先求{𝑥_(𝑛)}的通项公式．

由𝑥_(𝑛+1)=𝑥_(𝑛)(𝑥_(𝑛)−2)知

𝑥_(𝑛+1)−1=(𝑥_(𝑛)−1)^(2)−2

即

(𝑥_(𝑛+1)−1)/(2)=2((𝑥_(𝑛)−1)/(2))^(2)−1

设𝑦_(𝑛)=(𝑥_(𝑛)−1)/(2)即𝑥_(𝑛)=2𝑦_(𝑛)+1，则有

𝑦_(𝑛+1)=2𝑦2𝑛−1

考虑到𝑦_(1)=(𝑥_(1)−1)/(2)=(5)/(4)>1，设

公式：y_n=\cosh z_n=\dfrac{e^{z_n}+e^{-z_n}}{2},z_n>0

于是有

公式：\cosh z_{n+1}=2\cosh^2 z_n-1=\cosh 2z_n

即𝑧_(𝑛+1)=2𝑧_(𝑛)，且𝑧_(1)=𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ(5)/(4)=ln2．因此

𝑧_(𝑛)=2^(𝑛−1)ln2

公式：y_n=\cosh z_n=\dfrac{2^{2^{n-1}}+2^{-2^{n-1}}}{2}

𝑥_(𝑛)=2𝑦_(𝑛)+1=2^(2^(𝑛−1))+2^(−2^(𝑛−1))+1

因此{𝑥_(𝑛)}的所有项均是分母为2的幂的最简分数，即2∤𝑎，因此𝑝≠2．

注意到

公式：x_{2021}=\dfrac{\left(2^{2020}\right)^2+2^{2020}+1}{2^{2020}}

即𝑝∣𝑥^(2)+𝑥+1，其中𝑥=2^(2020)．

于是只需证明：对任意正整数𝑥，𝑥^(2)+𝑥+1的素因子𝑝，要么有𝑝=3，要么有𝑝≡1(mod3)．

由𝑝∣𝑥^(2)+𝑥+1知𝑝∣𝑥^(3)−1．

因此𝑥模𝑝的阶为1或3．

若𝑥模𝑝的阶为1，即𝑝∣𝑥−1，又

𝑝∣𝑥^(2)+𝑥+1=(𝑥−1)(𝑥+2)+3

于是𝑝∣3，即𝑝=3．

若𝑥模𝑝的阶为3，由Fermat小定理𝑥^(𝑝−1)≡1(mod𝑝)，因此3∣𝑝−1，即𝑝≡1(mod3)．

证毕．

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