数学竞赛每日一练 第3期解答

解答 设所求的63个整数为𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(63)．记𝑆=∑_(𝑖=1)^(63)𝑥_(𝑖)．

由题意知：𝑥2𝑖=𝑆−𝑥_(𝑖)，于是所有𝑥_(𝑖)均为𝑋^(2)+𝑋−𝑆=0的根．

于是这63个整数恰有两个不同的取值（由于它们不全相等）．由韦达定理可设其为𝑘和−1−𝑘，且𝑘(𝑘+1)=𝑆．

设这63个数中有𝑚个−1−𝑘，63−𝑚个𝑘，其中𝑚∈{1,2,⋯,62}．

于是公式：S=m(-1-k)+(63-m)k=k(k+1)．

即𝑚=(−𝑘^(2)+62𝑘)/(2𝑘+1)，也即

于是2𝑘+1∈{±1,±5,±25,±125}．

逐一代入检验得：𝑘=−13，𝑚=39；𝑘=−3，𝑚=39；𝑘=2，𝑚=24；𝑘=12，𝑚=24符合题意．

于是本题的答案为：
39个12和24个−13或39个2和24个−3．

解答 设所求的𝑛个整数为𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)．记𝑆=∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)．

由题意知：𝑥2𝑖=𝑆−𝑥_(𝑖)，于是所有𝑥_(𝑖)均为𝑋^(2)+𝑋−𝑆=0的根．

于是这𝑛个整数恰有两个不同的取值（由于它们不全相等）．由韦达定理可设其为𝑘和−1−𝑘，且𝑘(𝑘+1)=𝑆．

设这𝑛个数中有𝑚个−1−𝑘，𝑛−𝑚个𝑘，其中𝑚∈{1,2,⋯,𝑛−1}．

于是公式：S=m(-1-k)+(n-m)k=k(k+1)．

即𝑚=(−𝑘^(2)+(𝑛−1)𝑘)/(2𝑘+1)，也即

若2𝑛−1为素数，则

2𝑘+1=−2𝑛+1时，可得𝑚=𝑛，矛盾！
2𝑘+1=−1时，可得𝑚=𝑛，矛盾！
2𝑘+1=1时，可得𝑚=0，矛盾！
2𝑘+1=2𝑛−1时，可得𝑚=0，矛盾！

于是对于使2𝑛−1为素数的𝑛，不存在满足题意的𝑛个正整数，故结论不成立．