1997年保加利亚不等式

昨天的文章发出后，有位同学发了这道1997年保加利亚的不等式（阅读原文可进入AoPS题目讨论）给我，可以看作是2000年澳门数学奥林匹克中不等式的加强．

设正实数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎𝑏𝑐=1，求证：

公式：\begin{aligned} &\frac{2}{2+a}-\frac{1}{a+b+1}-\frac{b}{ab+b+1}\\ =&\frac{a(b-1)^2}{(2+a)(a+b+1)(ab+b+1)}\\ \geq &0\text{．} \end{aligned}

以及

公式：\sum_{cyc}\frac{b}{ab+b+1}=1\geq\sum_{cyc}\frac{1}{2+a}\text{．}

公式：\begin{aligned} &\sum_{cyc}\frac{2}{2+a}\\ \geq &\sum_{cyc}\frac{1}{a+b+1}+\sum_{cyc}\frac{b}{ab+b+1}\\ \geq &\sum_{cyc}\frac{1}{a+b+1}+\sum_{cyc}\frac{1}{2+a}\text{．} \end{aligned}

即

公式：\frac{p^2+4p+q+3}{p^2+2p+q+pq}\leq\frac{12+4p+q}{9+4p+2q}

即

公式：\frac{2p+3-pq}{p^2+2p+q+pq}\leq\frac{3-q}{9+4p+2q}\text{．}

去分母后变为：

公式：3p^2q+pq^2+6pq\geq 5p^2+q^2+24p+3q+27

注意到𝑝≥3，𝑞≥3，𝑝^(2)≥3𝑦，于是有：(5)/(3)𝑝^(2)𝑞≥5𝑝^(2)，(𝑝𝑞^(2))/(3)≥𝑞^(2)，𝑝𝑞^(2)≥9𝑝，5𝑝𝑞≥15𝑝，𝑝𝑞≥3𝑞，𝑝^(2)𝑞≥27，相加即证．