2021年科索沃数学奥林匹克

九年级组

1. 求所有两位的自然数，使得其减去自身数码和的7倍后，所得的结果为一个素数．
2. Dua的手中有小于20的所有正奇数，Asija的手中有小于21的所有正偶数．他们进行以下游戏：在自己的每个回合中，他们从对方手中取走一个数字．该回合结束后，他们可以固定手中的两个及以上的连续数字，使对方在下一回合中无法取走这些被固定的数字之一，然后进入对方的回合．首先获得10个连续数字的一方赢得比赛．问：是否存在一方有必胜策略？
3. 求所有实数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑，使得

公式：\begin{aligned} &a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\\ =&a+b+c+d-ab=3\text{．} \end{aligned}

4. 在凸五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴𝐵𝐶=90^(∘)，∠𝐵𝐶𝐷=135^(∘)，∠𝐷𝐸𝐴=60^(∘)，且𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸．求∠𝐷𝐴𝐸的大小．

十年级组

1. 有九个质量依次为1𝑘𝑔，2𝑘𝑔，⋯，9𝑘𝑔的砝码．在天平左侧放6个砝码，天平右侧放3个砝码，使得右侧比左侧更重．共有多少种放置的方法？
2. 求所有𝑓:ℝ→ℝ，使得对于任意实数𝑥,𝑦，均有

   𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)+𝑓(𝑥𝑦)≤𝑥+𝑦．
3. 求证：对于任意自然数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑，存在无穷多个自然数𝑛，使得𝑎^(𝑛)+𝑏^(𝑛)+𝑐^(𝑛)+𝑑^(𝑛)为合数．
4. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑀为𝐵𝐶边的中点．𝐷点满足𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，且𝐶和𝐷在直线𝐴𝐵的两侧．求证：

   √(𝐴𝐵⋅𝐴𝐶+𝐵𝐶⋅𝐴𝑀)≥(√(2))/(2)𝐶𝐷．

十一年级组

1. 将笛卡尔坐标平面中的九个点(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)染上红、蓝二色之一．求证其中必存在三顶点同色的等腰直角三角形．
2. 是否存在自然数𝑛，使得𝑛!的末尾恰好有2021个0？
3. 正实数𝑎,𝑏,𝑐满足

   𝑎^(5)+𝑏^(5)+𝑐^(5)=𝑎𝑏^(2)+𝑏𝑐^(2)+𝑐𝑎^(2)．

   求证：

公式：\frac{a^{2}+b^{2}}{b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{a}\geq 2(ab+bc+ca)\text{．}

4. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶．∠𝐵𝐴𝐶的角平分线与𝐵𝐶交于点𝐷，𝐷^(′)为𝐷关于𝐵𝐶边中点的对称点．过𝐷^(′)作𝐴𝐵的平行线，与𝐴𝐷交于点𝑋．证明：直线𝐴𝐶与△𝑋𝐶𝐷^(′)的外接圆相切．

十二年级组

1. 8×8的国际象棋盘上的每一个格子中都放置着一枚黑马或白马．问：棋盘上最多能放置多少枚黑马，使得任意一枚黑马能攻击到的黑马个数均不超过1．
   注：这里假设黑马之间可以相互攻击．
2. 求所有𝑓:ℝ→ℝ，使得对于任意𝑥,𝑦∈ℝ，均有

   𝑓(𝑓(𝑥)(𝑓(𝑦)−1)=𝑥𝑦−1．
3. 𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外接圆圆心．𝑋,𝑌在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上（异于𝐴,𝐵,𝐶三点），满足有向角∠𝑋𝑂𝑌和∠𝐵𝐴𝐶相等．求证：△𝐵𝑋𝑌的垂心为一定点．
4. 设𝑃(𝑥)为整系数多项式，记ℙ为所有素数构成的集合．证明：