两道不等式问题

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1. 1.（2000 年澳门数学奥林匹克）设正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le 1$． 证明：设 $a=x^3$，$b=y^3$，$c=z^3$，则 $abc=x^3y^3z^3=1$，即 $xyz=1$．于是 $\frac{1}{a+b+1}=\frac{xyz}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{xyz}{x^2y+xy^2+xyz}=\frac{z}{x+y+z}$．同理有 $\frac{1}{b+c+1}\le\frac{x}{x+y+z}$，$\frac{1}{c+a+1}\le\frac{y}{x+y+z}$，三式相加即证．
2. 2.（2018 年波罗的海地区数学奥林匹克）设正实数 $a,b,c,d$ 满足 $abcd=1$，求证：$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+2b+3c+10}}\le 1$． 证明：由 Cauchy 不等式知 $\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+2b+3c+10}}\le\sqrt{\sum_{cyc}\frac{4}{a+2b+3c+10}}$．故只需证明 $\sum_{cyc}\frac{4}{a+2b+3c+10}\le 1$．设 $a=x^4$，$b=y^4$，$c=z^4$，$d=w^4$，则 $\frac{4}{a+2b+3c+10}=\frac{4}{x^4+2y^4+3z^4+10}$．由均值不等式：$x^4+2y^4+3z^4+10=(x^4+y^4+z^4+1)+(y^4+z^4+1+1)+(z^4+1+1+1)+4\ge 4(xyz+yz+z+1)$．故 $\sum_{cyc}\frac{4}{x^4+2y^4+3z^4+10}\le\sum_{cyc}\frac{1}{xyz+yz+z+1}=1$，证毕．