2025年第六届北马其顿"亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩"纪念赛

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1. 高级组第一天第 1 题　某个国家的道路基础设施由偶数条直连道路构成，每条道路都是双向的。此外，对于任意两个城市 $X$ 和 $Y$，二者之间至多有一条直连道路，且存在一个城市序列 $X=X_0,X_1,\dots,X_{n-1},X_n=Y$，使得对于每个 $i=0,\dots,n-1$，城市 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 之间存在一条直连道路。证明：该国所有直连道路可以被定向（即每条道路改为单向行驶），使得每个城市 $X$ 作为起点的直连道路数量为偶数。
2. 高级组第一天第 2 题　设 $\triangle ABC$ 是一个不等边锐角三角形，其中 $\angle A$ 为第二大角，$H$ 是垂心，$O$ 是外心，$\Omega$ 是外接圆。设 $\triangle AHO$ 的外接圆分别与边 $AB$ 和 $AC$ 再次相交于 $M$ 和 $N$，而高 $CH$ 和 $BH$ 分别与外接圆 $\Omega$ 再次相交于 $K$ 和 $L$。证明：$KL$ 与 $AH$ 的垂直平分线的交点是 $\triangle AMN$ 的垂心。
3. 高级组第一天第 3 题　如果对于每一个 $k\ge 1$，不等式 $a_{k-1}a_{k+1}\le a_k^2$ 都成立，那么实数列 $\{a_k\}_{k\ge 0}$ 就被称为对数凹数列。设 $n,l$ 为自然数。证明：通项为 $a_k=\sum_{i=k}^{k+l}\binom{n}{i}$ 的数列 $\{a_k\}_{k\ge 0}$ 是对数凹数列。
4. 高级组第二天第 4 题　证明：对任意实数 $a,b,c>1$，都有不等式 $a(b^2+c)+b(c^2+a)+c(a^2+b)\ge a^2+b^2+c^2+3abc$，并说明等号何时成立。
5. 高级组第二天第 5 题　设正整数 $s<t$。按如下方式定义一个数列：$a_1=s$，$a_2=t$；$a_3$ 是大于 $a_2$ 且能被 $a_1$ 整除的最小整数；一般地，$a_{n+1}$ 是大于 $a_n$ 且能被 $a_1,a_2,\dots,a_{n-2},a_{n-1}$ 整除的最小整数。（1）这样的数列中最多能出现多少个奇数？（请说明理由）（2）证明：无论 $s$ 和 $t$ 如何选取，$a_{2025}$ 都能被 $2^{808}$ 整除。
6. 高级组第二天第 6 题　平面上有 $n\ge 7$ 个点，其中任意三点都不共线。至少有 7 对点由线段相连。对于上述每一条线段 $s$，设 $t(s)$ 是以线段 $s$ 为边的三角形的个数。证明：存在不同的线段 $s_1,s_2,s_3,s_4$，使得 $t(s_1)=t(s_2)=t(s_3)=t(s_4)$ 成立。
7. 初级组第一天第 1 题　求所有的三元素数组 $(p,q,r)$，使得 $p\cdot 2^q+r^2=2025$。
8. 初级组第一天第 2 题　同高级组第 1 题。
9. 初级组第一天第 3 题　同高级组第 2 题。
10. 初级组第二天第 4 题　设 $ABCDE$ 为一个五边形，满足 $\angle DCB<90^\circ<\angle EDC$。以 $BD$ 为直径的圆与直线 $BC$ 再次相交于点 $F$，以 $DE$ 为直径的圆与直线 $CE$ 再次相交于点 $G$。证明：$\triangle DFG$ 的外接圆与以 $AD$ 为直径的圆的第二个交点（不同于点 $D$）位于直线 $AC$ 上。
11. 初级组第二天第 5 题　同高级组第 4 题。
12. 初级组第二天第 6 题　同高级组第 5 题。