2024年白俄罗斯数学奥林匹克

\section*{2024年白俄罗斯数学奥林匹克}\section*{十年级组第一天}\ex 设$1=d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{k}=n$为$n$的全部正因数．且$d_{2}-d_{1}$,$d_{3}-d_{2}$,$\cdots$,$d_{k}-d_{k-1}$为$1,3,\cdots,2k-3$的一个排列．求$n$的所有可能值．\vfill\ex 一个正$2024$边形的一些顶点被标记，满足条件：对于任意正多边形，若其每个顶点均为这个正$2024$边形的顶点之一，则其至少有一个顶点被标记．求被标记顶点数量的最小可能值．\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$1+f(xy)=f(x+f(y))+(y-1)f(x-1).$$\vfill\ex 给定平行四边形$ABCD$，$\triangle ABC$的内切圆$\odot I$和三边$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$R,P,Q$．射线$DI$和线段$AB$交于点$S$．已知$\angle DPR=90^{\circ}$．求证：以$AS$为直径的圆与$\triangle DPQ$的外接圆相切．\vfill\nextpage\section*{2024年白俄罗斯数学奥林匹克}\section*{十年级组第二天}\ex 设$n$为正整数．在黑板上写出所有系数均为不超过$n$的正整数，且无实根的二次多项式．求所有的$n$，使得被写下的多项式数量为偶数．\vfill\ex 设$\omega$为$\triangle ABC$的外接圆．$\omega$在$A$处和$C$处的切线交于点$K$．直线$BK$和$\omega$的另一个交点为点$M$．在直线$BC$上取点$N$，使得$\angle BAN=90^{\circ}$．直线$MN$和$\omega$的另一个交点为点$D$．求证：$BD=BC$．\vfill\ex 称正整数对$(k,n)$是有趣的，如果$n$为合数，且对其每个正因数$d<n$，$d-k$和$d+k$中至少有一个仍为$n$的因数．求所有有趣的正整数对$(k,n)$，满足$k\le 100$．\vfill\ex 如图所示，将一个边长为$n$的正六边形分割为三种类型的图形，它们均为边长为$1$，其中一个内角为$60^{\circ}$的菱形：
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\coordinate (A) at (0, 0);\coordinate (B) at (-150:1cm);\coordinate (C) at (150:1cm);\coordinate (D) at (0,1);\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);\end{tikzpicture}}}
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\coordinate (A) at (0, 0);\coordinate (B) at (-30:1cm);\coordinate (C) at (30:1cm);\coordinate (D) at (0,1);\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);\end{tikzpicture}}}
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\coordinate (A) at (0,0);\coordinate (B) at (30:1cm);\coordinate (C) at (0,1);\coordinate (D) at (150:1cm);\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);\end{tikzpicture}}}
在每次操作中，可以选择三个如
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\coordinate (A) at (0,0);\coordinate (B) at (30:1cm);\coordinate (C) at (90:1cm);\coordinate (D) at (150:1cm);\coordinate (E) at (210:1cm);\coordinate (F) at (270:1cm);\coordinate (G) at (330:1cm);\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(B);\draw (D)--(A)--(F);\end{tikzpicture}}}
所示排列的菱形，然后将它们重新排列，如
\vcenter{\hbox{\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\coordinate (A) at (0,0);\coordinate (B) at (30:1cm);\coordinate (C) at (90:1cm);\coordinate (D) at (150:1cm);\coordinate (E) at (210:1cm);\coordinate (F) at (270:1cm);\coordinate (G) at (330:1cm);\draw (A)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(B)--(C);\draw (E)--(A)--(G);\end{tikzpicture}}}
所示．直到无法继续进行操作．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：操作次数只与初始状态有关，而和操作顺序无关．\item 对每个固定的正整数$n$，求可操作次数的最大可能值．\end{enumerate}\vfill