2026年韩国数学夏令营

高级组

P1

给定两两互质的正整数 a,b,c．若

证明：a+b+c除以 3所得的余数不可能为 2．

P2

设正实数数列 a_(1),a_(2),…对每个正整数 n≥2都满足

若 a_(1)≠a_(2)，证明：对于任意实数 M，都存在正整数 n，使得

P3

设 P为三角形 ABC的内部一点，O为三角形 ABC的外心．设 Q为三角形 APB的外心，R为三角形 APC的外心．

直线 PQ与 AB相交于 X，直线 PR与 AC相交于 Y．已知

证明：A,X,P,Y四点共圆．

P4

在沃拉里亚，有 n(n≥5)支职业足球队，各队的排名互不相同．这里进行的每场比赛都没有平局；若排名较低的球队击败排名较高的球队，就称这场比赛为一次爆冷．

足球协会的新任主席韩俊目前完全不知道任何球队的排名．为了确定所有球队的排名，他计划每天安排一场比赛．每天比赛结束后，他可以根据已经获得的信息决定第二天交锋的两支球队，但安排必须始终满足以下条件：

1. 对任意球队，它连续参加的两场比赛中，对手不能相同．
2. 对任意球队，它所参加的任意连续两场比赛中，至少有一场不是爆冷．
3. 对任意球队，它所参加的任意连续 n场比赛中，至少有一场是爆冷．

证明：存在常数 C，使得韩俊能够在

天之内确定所有球队的排名．

初级组

P1

有一个 2n×2n的方格板．把从一个 1×1单位正方形的四条边中删去一条边后得到的“ㄷ”形图形称为三边框．

求所有满足下述条件的 n：仅使用这种三边框，就能覆盖该方格板的所有单位边．

P2

设 ω为三角形 ABC的外接圆．点 D位于 ω的弧 BC上，点 T位于三角形 ABC内部，并满足

证明：

P3

判断是否存在函数 f,g:R→R，使得对所有 x∈R都有

P4

对于正整数 n，令 s(n)为满足下述条件的最小正整数 k：存在正整数 m，使得

对于正整数 x，定义函数 p(x)为

定义正整数数列 {a_(n)}，使其满足

证明：存在正整数 N,T，使得对所有 n≥N，都有