2027 年波兰数学奥林匹克第一轮

第 78 届波兰数学奥林匹克，2026—2027 学年．本部分考试于 2026 年 11 月 6 日举行，共 5 题，考试时间为 240 分钟．

第1题

设 $\displaystyle n\geq 6$ 为整数，$\displaystyle k,\ell$ 为满足 $$n\leq k<\ell\leq n+\sqrt n$$ 的两个合数．证明：$\displaystyle k$ 与 $\displaystyle \ell$ 的最大真因数不同．

注：正整数的真因数是指小于该数本身的正因数．

第2题

在三角形 $\displaystyle ABC$ 中，$\displaystyle AB<AC$．点 $\displaystyle M,N$ 分别为线段 $\displaystyle AB,AC$ 的中点．设 $\displaystyle \Omega$ 为三角形 $\displaystyle CMN$ 的外接圆，$\displaystyle \Omega$ 与直线 $\displaystyle BC$ 的另一个交点为 $\displaystyle P$，其中 $\displaystyle P\ne C$．过 $\displaystyle P,N$ 两点的 $\displaystyle \Omega$ 的切线相交于点 $\displaystyle Q$．证明：$\displaystyle AQ=QM$．

第3题

设 $\displaystyle x$ 为非零实数，且 $\displaystyle x+\frac{1}{x}$ 为整数．证明：对任意整系数多项式 $\displaystyle W$，数 $$W(x)\cdot W\left(\frac{1}{x}\right)$$ 都是整数．

第4题

彼得在一块 $\displaystyle m\times n$ 的棋盘上放置 $\displaystyle 1\times 2$ 的骨牌．每块骨牌恰好覆盖棋盘上的两个单位方格，任意两块骨牌不重叠，且骨牌不超出棋盘边界．骨牌可以横放，也可以竖放．

（1）设 $\displaystyle m=n=100$．若由不同骨牌覆盖的任意两个方格不能共边，但可以共有顶点，求最多能放置多少块骨牌．

（2）设 $\displaystyle m=99$，$\displaystyle n=101$．若由不同骨牌覆盖的任意两个方格既不能共边，也不能共有顶点，求最多能放置多少块骨牌．

第5题

设 $\displaystyle n\geq 2$ 为整数，$\displaystyle p_1,p_2,\ldots,p_n$ 为两两不同的素数．将 $$\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots+\frac{1}{p_n}$$ 写成最简分数 $\displaystyle \frac{a}{b}$，其中 $\displaystyle a,b$ 为正整数．证明： $$a^n\geq n^n b^{n-1}$$