第78届波兰数学奥林匹克第一阶段测试题及解析

解析．

答案：a）假；b）真；c）假．

由二项式定理，

类似地，

两个和式中，偶数下标 $\displaystyle k$ 对应的项相同，奇数下标 $\displaystyle k$ 对应的项互为相反数．因此

所以这是一个能被 $\displaystyle 2$ 整除的整数．和式中除首项外的每一项都能被 $\displaystyle 3$ 整除，而首项 $\displaystyle 7^{1013}$ 模 $\displaystyle 3$ 余 $\displaystyle 1$，故所求数不能被 $\displaystyle 3$ 整除．

解析．

答案：a）假；b）真；c）假．

记

a）对于不相等的正数 $\displaystyle a,b$，有 $\displaystyle ab<\frac{a^2+b^2}{2}$．于是

b）计算差 $\displaystyle A-C$，得

将首项与末项配对，第二项与倒数第二项配对，依此类推，得到

故 $\displaystyle A>C$．

c）有

以及

因此

由于 $\displaystyle 3^2<4^2$，$\displaystyle 5^2<6^2$，$\displaystyle \ldots$，$\displaystyle 2023^2<2024^2$，且

上述差为正，故 $\displaystyle A>D$．

注． a、b 两问也可直接由重排不等式得出：若 $\displaystyle x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$ 且 $\displaystyle y_1\le y_2\le\cdots\le y_n$，则对任意排列 $\displaystyle \sigma:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$，都有

解析．

答案：a）真；b）假；c）真．

a）设 $\displaystyle \ell$ 为 $\displaystyle \angle BAC$ 的角平分线．点 $\displaystyle B,D$ 关于 $\displaystyle \ell$ 对称，点 $\displaystyle C,E$ 也关于 $\displaystyle \ell$ 对称．因此，线段 $\displaystyle BC$ 和 $\displaystyle DE$ 与直线 $\displaystyle \ell$ 交于同一点，即 $\displaystyle P$ 在 $\displaystyle \ell$ 上．

b）三角形 $\displaystyle APB$ 的面积为 $\displaystyle \frac12 AB\cdot AP\cdot\sin\frac12\angle BAC$，三角形 $\displaystyle APC$ 的面积为 $\displaystyle \frac12 AC\cdot AP\cdot\sin\frac12\angle BAC$．两者之比为 $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac6{10}=\frac35$．

c）四边形 $\displaystyle BDCE$ 为等腰梯形，故其四个顶点共圆．

解析．

答案：a）假；b）真；c）假．

a）假设存在这样的情形，记相互认识的无序人对数为 $\displaystyle k$．由于每个人都恰好认识 $\displaystyle 13$ 人，将每个人的熟人数相加，每一对都被计算了两次，故 $\displaystyle 2k=101\cdot13$．但左边是偶数，右边是奇数，矛盾．

b）每个人认识的人数都是 $\displaystyle 0$ 至 $\displaystyle 100$ 之间的整数．如果 $\displaystyle 101$ 人认识的人数互不相同，那么 $\displaystyle 0$ 至 $\displaystyle 100$ 的每一个整数都必须出现．这就意味着既有一个人认识其他所有人，又有一个人谁也不认识，矛盾．

c）将所有人等间隔地排在一个圆周上，规定每个人只认识其左边第 $\displaystyle 1$、第 $\displaystyle 3$ 个人，以及右边第 $\displaystyle 1$、第 $\displaystyle 3$ 个人．这样每个人恰好认识 $\displaystyle 4$ 人，却没有三个人两两认识．

解析．

答案：a）真；b）真；c）假．

当 $\displaystyle c=0$ 时，第二个方程不可能成立，故方程组无解．当 $\displaystyle c\ne0$ 时，第二个方程表示直线 $\displaystyle y=-x+\frac1c$，第一个方程表示单位圆．若 $\displaystyle \left|\frac1c\right|>\sqrt2$，这条直线与单位圆没有公共点；若 $\displaystyle \left|\frac1c\right|=\sqrt2$，则直线与单位圆相切．直线不可能与圆恰有三个公共点．

解析．

答案：a）假；b）真；c）真．

注意到

因此 $\displaystyle N$ 不是完全平方数．它的正因数均可写成 $\displaystyle 2^a5^b13^c$，其中 $\displaystyle a,b,c\in\{0,1,2,3\}$，故正因数的个数为 $\displaystyle 4\cdot4\cdot4=64$．

数 $\displaystyle kN$ 是完全平方数，当且仅当 $\displaystyle k=130\ell^2$，其中 $\displaystyle \ell$ 为正整数．最小的这样的 $\displaystyle k$ 是 $\displaystyle 130$．

解析．

答案：a）假；b）真；c）真．

a）取 $\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_{11}=\frac12$，$\displaystyle x_{12}=2^{11}$，即得反例．

b）不妨设 $\displaystyle x_1\le x_2\le\cdots\le x_{12}$．若 $\displaystyle x_5\le1$，则 $\displaystyle x_1x_2x_3x_4x_5\le1$，从而

若 $\displaystyle x_5>1$，则特别有 $\displaystyle x_{11}>1$，$\displaystyle x_{12}>1$，于是

因此，将最小的五个数放在第一组，其余七个数放在第二组即可．

c）由条件有 $\displaystyle x_1x_2x_3\ge1$，$\displaystyle x_4x_5x_6\ge1$，$\displaystyle x_7x_8x_9\ge1$，$\displaystyle x_{10}x_{11}x_{12}\ge1$．四式相乘得到 $\displaystyle 1\ge1$，故上述四个不等式都只能取等号．同理可证，十二个数中任意三个数的乘积都等于 $\displaystyle 1$．

特别地，对任意两两不同的下标 $\displaystyle i,j,k,\ell$，都有 $\displaystyle x_ix_jx_k=x_ix_jx_\ell$，故 $\displaystyle x_k=x_\ell$．因此所有数相等，又因其乘积为 $\displaystyle 1$ 且均为正数，所以它们都等于 $\displaystyle 1$．

解析．

答案：a）真；b）假；c）假．

a）当 $\displaystyle x\ne1$ 时，$\displaystyle P(x)=\frac{x^{2027}-1}{x-1}\ne0$；此外，$\displaystyle P(1)=2027$．所以 $\displaystyle P$ 没有实数零点．

b）有 $\displaystyle P(2)=\frac{2^{2027}-1}{2-1}=2^{2027}-1<2^{2027}$．

c）有 $\displaystyle P(-1)=1$，而

故 $\displaystyle P$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上不是增函数．

解析．

答案：a）真；b）真；c）假．

a）设 $\displaystyle S',Y'$ 分别为 $\displaystyle S,Y$ 在平面 $\displaystyle ABC$ 上的正投影．只需证明 $\displaystyle Y'$ 在直线 $\displaystyle CX$ 上．

注意到 $\displaystyle S'$ 为三角形 $\displaystyle ABC$ 的重心，且 $\displaystyle Y'$ 在线段 $\displaystyle AS'$ 上，满足 $\displaystyle AY':Y'S'=AY:YS=3:1$．设 $\displaystyle K$ 为线段 $\displaystyle BC$ 的中点，$\displaystyle L$ 为线段 $\displaystyle BX$ 的中点．则

故 $\displaystyle Y'$ 为线段 $\displaystyle AK$ 的中点．又由 $\displaystyle AX:XB=1:2$ 及 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle BX$ 的中点可知，$\displaystyle X$ 为 $\displaystyle AL$ 的中点．因此，$\displaystyle XY'$ 为三角形 $\displaystyle AKL$ 的中位线，故 $\displaystyle XY'\parallel KL$；而 $\displaystyle KL$ 为三角形 $\displaystyle BCX$ 的中位线，故 $\displaystyle CX\parallel KL$．所以 $\displaystyle Y'$ 与 $\displaystyle C$ 均在过 $\displaystyle X$ 且平行于 $\displaystyle KL$ 的直线上，即 $\displaystyle C,X,Y'$ 共线．

b）三角形 $\displaystyle ACX$ 的面积是三角形 $\displaystyle ABC$ 面积的 $\displaystyle \frac13$，点 $\displaystyle Y$ 到平面 $\displaystyle ABC$ 的距离是点 $\displaystyle S$ 到该平面距离的 $\displaystyle \frac34$．因此，四面体 $\displaystyle AXCY$ 与四面体 $\displaystyle ABCS$ 的体积之比为 $\displaystyle \frac13\cdot\frac34=\frac14$．

c）在棱 $\displaystyle AB$ 上取点 $\displaystyle Y''$，使 $\displaystyle BY'':Y''A=AY:YS=3:1$．由正三角形 $\displaystyle ASC$ 与 $\displaystyle BAC$ 的全等关系，得 $\displaystyle CY=CY''$．显然，$\displaystyle \angle CXY''$ 为钝角，故 $\displaystyle CY''>CX$．因此 $\displaystyle CY>CX$，最长边不可能是 $\displaystyle CX$．

解析．

答案：a）真；b）假；c）真．

a）将原等边三角形分成 $\displaystyle 100$ 个边长为 $\displaystyle 1$ 的等边三角形．由抽屉原理，至少有两个给定点落在同一个小等边三角形内，它们之间的距离不大于 $\displaystyle 1$．

b）在原等边三角形内取一个圆，将 $\displaystyle 101$ 个点都放在该圆的一段四分之一圆弧上．这些点中的任意三个构成的三角形，均有一个角不小于 $\displaystyle 135^\circ$，所以都不是锐角三角形．

c）将原等边三角形分成 $\displaystyle 50$ 个等面积三角形，每个小三角形的面积均为

这样的划分可以如下实现：将其中一边分成 $\displaystyle 50$ 等份，把各分点与对面的顶点连接．由抽屉原理，至少有三个给定点落在同一个小三角形内，它们构成的三角形面积小于 $\displaystyle 1$．

解析．

答案：a）真；b）真；c）真．

a）由公式

可知 $\displaystyle 2026^n-1$ 能被 $\displaystyle 2026-1=2025=45^2$ 整除，因而也能被 $\displaystyle 45$ 整除．

b）取 $\displaystyle n=p-1$，其中 $\displaystyle p$ 为不整除 $\displaystyle 2026$ 的素数．由费马小定理，$\displaystyle 2026^n-1=2026^{p-1}-1$ 能被 $\displaystyle p=n+1$ 整除．由于这样的素数有无穷多个，结论成立．

c）与 a 问类似，当 $\displaystyle n$ 为正偶数时，$\displaystyle 2026^n-1$ 能被 $\displaystyle 2026^2-1=2025\cdot2027$ 整除，因而能被 $\displaystyle 2027$ 整除．

解析．

答案：a）假；b）真；c）真．

记正整数 $\displaystyle n$ 的各位数字之和为 $\displaystyle S(n)$．注意到 $\displaystyle S(n)\equiv n\pmod9$．事实上，若 $\displaystyle n$ 的十进制表示为 $\displaystyle a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0$，则

a）由于 $\displaystyle 5^6\equiv125^2\equiv(-1)^2\equiv1\pmod9$，所以

故这一过程最终得到 $\displaystyle 4$．

b）由 $\displaystyle (10^9)!<(10^9)^{10^9}=10^{9\cdot10^9}$ 可知，$\displaystyle (10^9)!$ 至多有 $\displaystyle 9\cdot10^9$ 位数字，因此

故 $\displaystyle S\bigl((10^9)!\bigr)$ 至多有 $\displaystyle 11$ 位数字，从而 $\displaystyle S\bigl(S((10^9)!)\bigr)\le9\cdot11=99$．在不超过 $\displaystyle 99$ 的正整数中，$\displaystyle 99$ 的各位数字之和最大，因而 $\displaystyle S\bigl(S(S((10^9)!))\bigr)\le18$．不超过 $\displaystyle 18$ 的正整数，其各位数字之和均不超过 $\displaystyle 9$，所以

因此至多四步，这一过程就会停止．

c）题中的幂塔可以写成 $\displaystyle 11^{11^n}$，其中 $\displaystyle n$ 是由其余 $\displaystyle 998$ 个 $\displaystyle 11$ 构成的幂塔，因而为奇数．有

于是可设 $\displaystyle 11^n=6k+5$．又有 $\displaystyle 11^6\equiv2^6\equiv64\equiv1\pmod9$，故

所以这一过程最终得到 $\displaystyle 5$．

注． 在计算 $\displaystyle 5^6$ 和 $\displaystyle 11^6$ 模 $\displaystyle 9$ 的余数时，也可以使用欧拉定理：若 $\displaystyle \gcd(a,n)=1$，则 $\displaystyle a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n$，其中 $\displaystyle \varphi(n)$ 为不超过 $\displaystyle n$ 且与 $\displaystyle n$ 互素的正整数的个数．