代数
含解答
2026年11月谜之竞赛第2题
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题目
设复数 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 满足 $\displaystyle a_1a_2\cdots a_{100}=1$，求$S=\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq 100}|a_i+a_j-4|$的最小可能值．（王羿骁、刘亦乐 供题）
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解答
设 $\displaystyle r_i=|a_i|$，不妨设 $\displaystyle 0<r_1\leq r_2\leq\cdots\leq r_{100}\text{，}$则 $\displaystyle r_1=\frac{1}{r_2\cdots r_{100}}\leq r_2^{-99}\text{．}$
（1）$\displaystyle r_2\leq 2$ 时，
$$\begin{aligned}
S&\geq\sum_{k=3}^{100}(|a_1+a_k-4|+|a_2+a_{k+1}-4|+|a_k+a_{k+1}-4|)+|a_1+a_2-4|\\
&\geq 98(4-r_1-r_2)+(4-r_1-r_2)\\
&=99(4-r_1-r_2)．
\end{aligned}$$
（约定 $\displaystyle a_{101}=a_3$）
若 $\displaystyle r_2<1$，则 $\displaystyle r_1+r_2<2$，$\displaystyle S>198$．
若 $\displaystyle 1\leq r_2\leq 2$，则
$$r_1+r_2\leq r_2^{-99}+r_2\leq\max\{1^{-99}+1,2^{-99}+2\}=2^{-99}+2$$
$\displaystyle S\geq 99(2-2^{-99})$．
（2）$\displaystyle r_2>2$ 时，
$$\begin{aligned}
S&\geq\sum_{k=3}^{100}(|a_1+a_k-4|+|a_2+a_k-4|)+|a_1+a_2-4|\\
&\geq 98(r_2-r_1)+(4-r_1-r_2)\\
&=97r_2-99r_1+4\\
&>99(2-2^{-99})．
\end{aligned}$$
取等：$\displaystyle a_1=2^{-99}$，$\displaystyle a_2=\cdots=a_{100}=2\text{．}$故最小值为 $\displaystyle 99(2-2^{-99})$．
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