一道CMO模拟中复数不等式的奇妙做法

解答

最大值为 $\boxed{3n/2}$．等号成立当且仅当 $a_1=\cdots=a_{3n}=\frac12$，且 $z_1,\ldots,z_{3n}$ 恰由某个单位圆内接正三角形的三个顶点各重复 $n$ 次组成．此时 $\sum z_i=0$，任意 $|z_j+z_k|$ 为 $1$ 或 $2$，满足题设．

设 $\sum a_i\ge3n/2$．将复数视为平面向量，记 $u\cdot z=\Re(u\overline z)$，令 $$G_i=\left\{u:u\cdot z_i>a_i-\frac12\right\}.$$ 若这些开半平面有公共点 $u$，则 $$0=u\cdot\sum_{i=1}^{3n}z_i >\sum_{i=1}^{3n}a_i-\frac{3n}{2}\ge0,$$ 矛盾．由平面 Helly 定理，不妨设 $$G_1\cap G_2\cap G_3=\varnothing. \tag{1}$$

若 $z_1,z_2,z_3$ 同处一个开半圆内，则存在向量 $v$，使 $v\cdot z_i>0$（$i=1,2,3$）．取充分大的正数 $M$，即有 $Mv\in G_1\cap G_2\cap G_3$，与 (1) 矛盾．

若其中两点互为相反数，不妨设 $z_2=-z_1$，则 $a_1=a_2=0$，故直线 $L:u\cdot z_1=0$ 包含于 $G_1\cap G_2$．若 $z_3$ 不平行于 $z_1$，则 $u\cdot z_3$ 在 $L$ 上可取任意实数，故 $L\cap G_3\ne\varnothing$；否则 $z_3=\pm z_1$，又有 $a_3=0$，原点即为三个半平面的公共点，仍与 (1) 矛盾．

因此三点互不相同，且按圆周顺序分出的三段弧均小于半圆，故原点 $O$ 位于三角形 $z_1z_2z_3$ 内部．令 $$p_1=\frac{[Oz_2z_3]}{[z_1z_2z_3]},\quad p_2=\frac{[Oz_3z_1]}{[z_1z_2z_3]},\quad p_3=\frac{[Oz_1z_2]}{[z_1z_2z_3]},$$ 其中方括号表示三角形面积，则 $$p_i>0,\quad p_1+p_2+p_3=1,\quad p_1z_1+p_2z_2+p_3z_3=0.$$ 三点不共线，故存在向量 $u$ 和实数 $c$，满足 $$a_i=c+u\cdot z_i\qquad(i=1,2,3).$$ 若 $c<\frac12$，则 $u\in G_1\cap G_2\cap G_3$，与 (1) 矛盾．因此 $$p_1a_1+p_2a_2+p_3a_3=c\ge\frac12.$$

设三角形 $z_1z_2z_3$ 在三个顶点处的内角分别为 $A,B,C$，记 $$T=\tan A+\tan B+\tan C.$$ 原点是该三角形的外心且位于内部，故 $A,B,C$ 均为锐角，且 $$|z_2+z_3|=2\cos A,$$ $$p_1=\frac{\sin2A}{\sin2A+\sin2B+\sin2C} =\frac{\tan B+\tan C}{2T},$$ 其余两式类似．又 $$\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{3\sqrt3}{2},$$ $$\tan A+\tan B+\tan C\ge3\sqrt3,$$ 故 $$\begin{aligned} 1 &\le2(p_1a_1+p_2a_2+p_3a_3)\\ &=\frac{(a_2+a_3)\tan A+(a_3+a_1)\tan B+(a_1+a_2)\tan C}{T}\\ &\le\frac{2(\sin A+\sin B+\sin C)}{\tan A+\tan B+\tan C}\\ &\le1. \end{aligned}$$

因此各步均取等，得 $A=B=C=\pi/3$，且 $$a_1+a_2=a_2+a_3=a_3+a_1=1.$$ 于是 $z_1,z_2,z_3$ 构成正三角形，$a_1=a_2=a_3=\frac12$．

对单位圆上任一点 $z$，三个顶点中至少有一个与 $-z$ 的夹角不超过 $\pi/3$，故 $$\min_{1\le i\le3}|z+z_i|\le1.$$ 等号成立当且仅当 $-z$ 是三段等分弧的中点之一，即 $z\in\{z_1,z_2,z_3\}$．因此，对每个 $k$， $$a_k+\frac12 \le\min_{1\le i\le3}|z_k+z_i| \le1.$$ 结合 $\sum a_k\ge3n/2$，得所有 $a_k=\frac12$，且所有 $z_k$ 均为这三个顶点之一．

将三个顶点记为 $\zeta,\zeta\omega,\zeta\omega^2$，其中 $|\zeta|=1$，$\omega=e^{2\pi i/3}$，出现次数分别为 $r,s,t$．由 $\sum z_k=0$， $$r+s\omega+t\omega^2=0.$$ 比较虚部、实部，得 $r=s=t$，再由 $r+s+t=3n$，得 $r=s=t=n$．

综上，$\sum a_i\ge3n/2$ 时必有 $\sum a_i=3n/2$，且只能出现上述取等情况，故所求最大值为 $\boxed{3n/2}$，取等情形如前所述．

注

常规做法需要注意到如下恒等式： $$\sum_{i=1}^{3n}\sum_{j=1}^{3n}|z_i-z_j|^2(a_i+a_j)=12n\sum_{i=1}^{3n}a_i$$