最近做的几道AI题

解　取 $\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)=\left(\frac29,\frac13,\frac29,\frac29\right)$，其余各项为 $\displaystyle 0$，得 $\displaystyle S=\dfrac4{81}$．

不妨设 $\displaystyle a_n=\max\limits_{1\le i\le n}a_i$．令 $\displaystyle G=\bigl(C_{n-1}^2\cup\{14,25,36\}\bigr)\setminus\{34\}$，其中 $\displaystyle C_{n-1}^2$ 连接圆周距离为 $\displaystyle 1$ 或 $\displaystyle 2$ 的顶点，$\displaystyle ij=\{i,j\}$．$\displaystyle G$ 不含 $\displaystyle K_4$．逐项比较并用 Motzkin–Straus 不等式，得 $$\begin{aligned} S&\le a_n\sum\limits_{ij\in E(G)}a_i a_j\\ &\le\frac{a_n}{3}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i\right)^2 \\ &=\frac13a_n(1-a_n)^2\le\frac4{81} \end{aligned}$$

解　令 $\displaystyle t=\sum\limits_{i=1}^n x_i^4$，则 $\displaystyle x_i^2\le\sqrt t\le1$． $$\begin{aligned} &\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^3y_i\right)^2 =\left[\sum\limits_{i=1}^n(x_i^3-tx_i)y_i\right]^2\\ &\le\sum\limits_{i=1}^n(x_i^3-tx_i)^2 =\sum\limits_{i=1}^n x_i^6-t^2\\ &\le t^{3/2}-t^2\le\frac{27}{256} \end{aligned}$$ 取正整数 $\displaystyle m$，令 $\displaystyle n=m+1$，取 $\displaystyle x_1=\frac{\sqrt3}{2}$、$\displaystyle y_1=\frac12$，并对 $\displaystyle 2\le i\le n$ 取 $\displaystyle x_i=\frac1{2\sqrt m}$、$\displaystyle y_i=-\frac{\sqrt3}{2\sqrt m}$．则 $$\sum\limits_{i=1}^n x_i^3y_i=\frac{\sqrt3}{16}\left(3-\frac1m\right)\longrightarrow\frac{3\sqrt3}{16}$$ 故 $\displaystyle C_{\min}=\dfrac{3\sqrt3}{16}$，有限 $\displaystyle n$ 不取等．

解　若 $\displaystyle a_1+\cdots+a_n<n$，取最小的 $\displaystyle k$ 使 $\displaystyle a_1+\cdots+a_k<k$．则（空和记为 $\displaystyle 0$）$\displaystyle a_1+\cdots+a_{k-1}\ge k-1$，故 $\displaystyle a_k+\cdots+a_n<n+1-k$，从而 $$\frac{(a_1+\cdots+a_k)(a_k+\cdots+a_n)}{k(n+1-k)}<1$$ 矛盾．故 $$\sum\limits_{i=1}^n a_i^2\ge\frac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{n}\ge n$$ 等号当且仅当 $\displaystyle a_1=\cdots=a_n=1$，且此时满足题设．

解　取 $\displaystyle (a_1,\ldots,a_n)=(0,1,0,1,\ldots,0,1,0)$，得 $\displaystyle F=n-2$．

记 $\displaystyle d_i=|a_i-a_{i+1}|$，$\displaystyle m=\min\limits_{1\le i\le n}d_i$，$\displaystyle M=\max\limits_{1\le i\le n}d_i$．相邻两项 $\displaystyle a_i,a_{i+1}$ 不能都小于 $\displaystyle m$，奇环上必有相邻两项均不小于 $\displaystyle m$，故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\min\{a_i,a_{i+1}\}\ge m$，且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n|d_i-d_{i+1}|\ge2(M-m)$．于是 $$\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^n d_i=n-1-2\sum\limits_{i=1}^n\min\{a_i,a_{i+1}\}\\ &\le n-1-2m \end{aligned}$$ 及 $$\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^n\min\{d_i,d_{i+1}\}\\ &=\sum\limits_{i=1}^n d_i-\frac12\sum\limits_{i=1}^n|d_i-d_{i+1}|\\ &\le n-1-M-m \end{aligned}$$ 从而 $$\begin{aligned} F&\le M\sum\limits_{i=1}^n\min\{d_i,d_{i+1}\}\\ &\le M(n-1-M-m)\\ &\le M(n-1-M)\le n-2 \end{aligned}$$ 取等必有 $\displaystyle M=1$、$\displaystyle m=0$、$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\min\{a_i,a_{i+1}\}=0$．正项互不相邻，由总和及 $\displaystyle a_i\le1$，恰有 $\displaystyle \frac{n-1}{2}$ 个 $\displaystyle 1$．故所有取等数组恰为上述数组的循环轮换．