科普 2026-10-31

四块砝码的极限：平衡三进制

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程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 6695 字约 19 分钟公式 150 处2 图

给你四块不可拆分的砝码，可以自行决定每块的质量，天平两边都允许放．要求1克、2克、3克……都能用这些砝码一次配平，中间不能漏掉．最多能称到多少克？答案是40克，砝码取1克、3克、9克、27克．例如，称20克时，物体与9克、1克砝码同盘，另一盘放27克、3克：

$$20=27-9+3-1$$

把27克换成28克，不就能称到41克了吗？确实能，但14克丢了．不用28克时，其余三块最多凑出 $\displaystyle 1+3+9=13$ 克；用了28克，即使把其余砝码全部放到另一侧，正的质量差也至少是 $\displaystyle 28-13=15$ 克．

第四块取27克时整数质量13与14衔接，取28克时新覆盖从15克开始，漏掉14克

想换一组重量，让1到41一个不漏，也做不到．每块砝码只有“同侧、对面、不用”三种放法，四块一共 $\displaystyle 3^4=81$ 种．若能称出1到41，交换砝码两侧的位置，还能得到−1到−41的质量差，加上0，就需要 $\displaystyle 41+41+1=83>81$ 种不同结果，已经超过全部放法．

计数给出了40的上界，但还没有证明它能达到．接下来要说明：1、3、9、27确实能称出中间的每个整数．

数字也可以取负值

普通三进制使用 $\displaystyle 0,1,2$ 三个数字，位权是 $\displaystyle 1,3,9,27,\ldots$．平衡三进制保留位权，把数字换成 $\displaystyle -1,0,1$．记 $\displaystyle \bar1=-1$，上横线只属于这一位，则

$$(a_k\cdots a_1a_0)_3=\sum_{i=0}^{k}a_i3^i,\qquad a_i\in\{-1,0,1\}$$

例如，$\displaystyle (1\bar1)_3=3-1=2$，$\displaystyle (10\bar1)_3=9-1=8$，20写成 $\displaystyle (1\bar11\bar1)_3$．四个数字分别告诉我们：27克放对面，9克放同侧，3克放对面，1克放同侧．数字0表示不用．

“平衡”指三个数字关于0对称．数字可以取负值，位权仍是3的幂．

从余数开始，就能写出每个整数

整数除以3，通常取余数0、1、2．其中余2也可以改成余 $\displaystyle -1$，只要把商加1：例如，$\displaystyle 20=3\times6+2=3\times7-1$．因此，$\displaystyle -1,0,1$ 恰好对应除以3的三种余数，任意整数 $\displaystyle N$ 都能写成

$$N=3q+r,\qquad q\in\mathbb Z,\quad r\in\{-1,0,1\}$$

当 $\displaystyle N\ne0$ 时，

$$|q|=\frac{|N-r|}{3}\le\frac{|N|+1}{3}<|N|$$

继续分解商，绝对值严格减小，有限步后必到达0．各次余数从低位到高位排好，便得到所求表示．正数、负数都适用，0直接写成0．

算20时，过程是

$$\begin{gathered} 20=3\times7-1,\quad 7=3\times2+1,\\ 2=3\times1-1,\quad 1=3\times0+1 \end{gathered}$$

余数依次为 $\displaystyle -1,1,-1,1$，倒过来读就是 $\displaystyle (1\bar11\bar1)_3$．

同一个数会不会有另一种有限写法？假设有两种不同的表示，各位数字为 $\displaystyle a_i$ 与 $\displaystyle b_i$．补齐前导零，设从低位起首次不同的是第 $\displaystyle j$ 位．两式相减，再除以 $\displaystyle 3^j$，更高位仍是3的倍数，故

$$a_j-b_j\equiv0\pmod3,\qquad a_j-b_j\in\{-2,-1,1,2\}$$

矛盾．所以，忽略前导零，每个整数恰有一种有限平衡三进制表示．

这里也能看出为什么偏偏用3．仍讨论整数的有限表示，若保留 $\displaystyle -1,0,1$ 三个数字，只把位权改为2的幂，就有 $\displaystyle (1)_2=(1\bar1)_2=1$，表示不再唯一．若把位权改为4的幂，这些数字串表示的整数模4只能同余于 $\displaystyle -1,0,1$，因此不能表示2．底数为3时，三个数字恰好各占一个余数类，不多也不少．

四位恰好覆盖−40到40

计入前导零，$\displaystyle n$ 位共有 $\displaystyle 3^n$ 种不同表示，且

$$\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_i3^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}3^i=\frac{3^n-1}{2}$$

由唯一性，这些表示互不重复；区间内的整数个数又恰为 $\displaystyle 2\times\frac{3^n-1}{2}+1=3^n$．所以，$\displaystyle n$ 位恰好表示

$$\left[-\frac{3^n-1}{2},\,\frac{3^n-1}{2}\right]\cap\mathbb Z$$

其中没有缺口．取 $\displaystyle n=4$，范围便是 $\displaystyle -40$ 到 40．

一个数的正负由最高非零位决定：若这一位权重为 $\displaystyle 3^k$，全部低位的绝对贡献至多为 $\displaystyle (3^k-1)/2<3^k$，不足以抵消最高位．因此不必另设独立符号位．

1、3、9、27为什么是最优方案

设有 $\displaystyle n$ 块正整数质量的砝码 $\displaystyle w_1\le\cdots\le w_n$，每块至多使用一次，允许放在两盘．物体放在固定的一侧，砝码放对面记为1，放同侧记为−1，不用记为0．可配平的质量满足

$$x=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_iw_i,\qquad \varepsilon_i\in\{-1,0,1\}$$

要求1到 $\displaystyle M$ 的每个整数质量都能一次配平．

把四块推广到 $\displaystyle n$ 块，同样需要 $\displaystyle 2M+1$ 个不同的质量差，而放置状态只有 $\displaystyle 3^n$ 种，故

$$2M+1\le3^n,\qquad M\le\frac{3^n-1}{2}$$

取 $\displaystyle w_i=3^{i-1}$ 时，前面的表示定理保证区间内每个整数都能称出，恰好达到上界．因此

$$M_{\max}=\frac{3^n-1}{2},\qquad (w_1,\ldots,w_n)=(1,3,\ldots,3^{n-1})$$

到这里，上界与构造已经配合完整：计数排除了更好的方案，平衡三进制给出了达到上界的方案．竞赛中的最值题常需要这两步，单独猜中一组重量还不够．

如果连续范围已经达到上界，砝码也只能取这组重量．此时，全部 $\displaystyle 3^n$ 个状态必须与 $\displaystyle -M,\ldots,M$ 一一对应．任何重复或区间外的结果，都会挤掉一个需要称出的整数．全取正号得到最大值，故砝码总质量为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i=M$．

把所有系数加 1，便有

$$\sum_{i=1}^{n}(\varepsilon_i+1)w_i=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_iw_i+M$$

于是，系数取 $\displaystyle 0,1,2$ 的所有组合恰好一次覆盖 $\displaystyle 0,1,\ldots,3^n-1$．这里的2只是平移后的系数，并不是允许一块砝码使用两次．这些系数均非负，要得到1，必须有 $\displaystyle w_1=1$．

前 $\displaystyle k$ 块一旦确定为 $\displaystyle 1,3,\ldots,3^{k-1}$，系数取 $\displaystyle 0,1,2$ 就恰好覆盖 $\displaystyle 0,\ldots,3^k-1$．下一块的重量

$$\begin{cases} w_{k+1}<3^k&\text{会造成重复},\\ w_{k+1}>3^k&\text{会漏掉 }3^k \end{cases}$$

只能是 $\displaystyle w_{k+1}=3^k$．如此逐块确定，得到的就是1、3、9、27……．

反过来，如果要求称到指定的 $\displaystyle M$，就取使 $\displaystyle 3^n\ge2M+1$ 成立的最小整数 $\displaystyle n$．用对数写成

$$n_{\min}=\left\lceil\log_3(2M+1)\right\rceil$$

状态数给出下界，取3的幂又能达到这个下界，因为此时 $\displaystyle (3^n-1)/2\ge M$．

不使用对数，也可以直接比较3的幂．例如，要称出1到100克，连同0与负的质量差，共需201个结果，而

$$3^4=81<201<243=3^5$$

所以至少需要五块．取1、3、9、27、81克，能够连续称到121克，足以覆盖所需范围．例如，$\displaystyle 100=81+27-9+1$．

“块数最少”和“达到这几块的最大量程”要分清．前者的方案未必唯一．只要求称出1、2、3，砝码1、2与砝码2、3都只需两块，后者用 $\displaystyle 1=3-2$．因此，“要称出1，就必须有一块1”的说法并不成立．证明最优方案唯一时，先把系数移成 $\displaystyle 0,1,2$，就是为了排除这种通过相减凑出小重量的情形．

若砝码只能放在物体对面，每块只有“用”和“不用”两种状态．全部子集至多产生 $\displaystyle 2^n$ 个结果，扣除空集对应的 0，有 $\displaystyle M+1\le2^n$．于是

$$M_{\max}=2^n-1,\qquad n_{\min}=\left\lceil\log_2(M+1)\right\rceil$$

取 $\displaystyle 1,2,4,\ldots,2^{n-1}$ 即可达到上界．称到 40，两盘放置最少四块，单盘放置最少六块．

小数也能用负数字

在小数点右边继续使用 $\displaystyle 3^{-1},3^{-2},\ldots$ 作为位权，就得到平衡三进制小数．例如

$$\frac13=(0.1)_3,\qquad \frac23=(1.\bar1)_3=1-\frac13$$

一个最简分数 $\displaystyle p/q$（$\displaystyle q>0$）能写成有限平衡三进制小数，当且仅当分母只含质因子3，也允许分母为1．也就是 $\displaystyle q=3^m$，其中 $\displaystyle m$ 为非负整数．

必要性很直接：若小数点后至多有 $\displaystyle m$ 位，则 $\displaystyle 3^m(p/q)$ 为整数，故 $\displaystyle q\mid3^m$．反过来，若 $\displaystyle q=3^m$，把整数 $\displaystyle p$ 写成平衡三进制，再将小数点左移 $\displaystyle m$ 位即可．

所以 $\displaystyle 1/2$ 没有有限表示，但它有两种很整齐的无限表示：

$$\frac12=\sum_{j=1}^{\infty}3^{-j}=(0.111\ldots)_3$$

以及

$$\frac12=1-\sum_{j=1}^{\infty}3^{-j}=(1.\bar1\bar1\bar1\ldots)_3$$

这与前面的唯一性并不矛盾：前面证明的是有限表示．两个不同的有限数字串逐位相减，一定有最低非零位；无限向右延伸时，这一步未必还能做．十进制中的 $\displaystyle 1=0.999\ldots$ 也有类似现象．

负数字怎样参与计算

有了表示法，就可以按位计算．二进制的一位叫bit，三进制的一位叫trit．普通三进制使用 $\displaystyle 0,1,2$，本文采用平衡三进制，每位取 $\displaystyle -1,0,1$．

取负和移位

取相反数只需逐位反号：

$$-\sum_{i=0}^{n-1}a_i3^i=\sum_{i=0}^{n-1}(-a_i)3^i$$

也就是交换 $\displaystyle 1$ 与 $\displaystyle \bar1$，$\displaystyle 0$ 不变．减法因而可以交给加法器完成：$\displaystyle A-B=A+(-B)$．

左移一位、末尾补0，对应乘以3：

$$3(a_k\cdots a_0)_3=(a_k\cdots a_0\,0)_3$$

例如，$\displaystyle 2=(1\bar1)_3$，左移后得到 $\displaystyle 6=(1\bar10)_3$．有限字长时，结果仍可能超出表示范围，不能因为不需要独立符号位就忽略溢出．

加法与负进位

加法仍然从最低位算起．每一列接收两个数字 $\displaystyle a_i,b_i$ 和低位传来的进位 $\displaystyle c_i$，输出本位数字 $\displaystyle s_i$ 与新进位 $\displaystyle c_{i+1}$．完成这一步的电路叫全加器，它要满足

$$a_i+b_i+c_i=s_i+3c_{i+1},\qquad s_i,c_{i+1}\in\{-1,0,1\}$$

令 $\displaystyle t=a_i+b_i+c_i$，则 $\displaystyle -3\le t\le3$．本位数字与新进位可以统一写成

$$c_{i+1}=\left\lfloor\frac{t+1}{3}\right\rfloor,\qquad s_i=t-3c_{i+1}$$

三个输入各有三种取值，总共只有 $\displaystyle 3^3=27$ 种组合．可以把对应的输出预先列成表，再用逻辑门实现，不必真的按公式先做除法[1]．

特别地，$\displaystyle 2=3-1$，故本位写 $\displaystyle \bar1$、进1；$\displaystyle -2=-3+1$，故本位写1、进 $\displaystyle \bar1$．例如

$$(10\bar1)_3+(1\bar1\bar1)_3=(111)_3=13$$

从低位到高位，三列计算分别为

$$\begin{aligned} (-1)+(-1)+0&=1+3(-1),\\ 0+(-1)+(-1)&=1+3(-1),\\ 1+1+(-1)&=1+3\cdot0 \end{aligned}$$

乘法则仍按分配律展开，下式各和遍历两个数的有限数位：

$$\left(\sum_{i} a_i3^i\right)\left(\sum_{j} b_j3^j\right) =\sum_{i,j}a_ib_j3^{i+j}$$

由于 $\displaystyle a_ib_j\in\{-1,0,1\}$，每个部分积只需选择“原数、零、相反数”，再移位相加．同一位上的部分积累加后仍要处理进位，并不是完全不需要算术电路．

截去低位，恰好得到最近整数

通常删去低位只是截断，平衡三进制却能同时完成舍入．把整数 $\displaystyle N$ 的最低 $\displaystyle k$ 位去掉（$\displaystyle k\ge1$），剩余数字串表示 $\displaystyle Q$，则

$$N=3^kQ+R,\qquad |R|\le\frac{3^k-1}{2}$$

于是

$$\left|\frac{N}{3^k}-Q\right|\le\frac{1-3^{-k}}2<\frac12$$

所以 $\displaystyle Q$ 恰是 $\displaystyle N/3^k$ 的唯一最近整数．例如

$$8=(10\bar1)_3\ \longrightarrow\ (10)_3=3$$

去掉个位后得到3，恰是 $\displaystyle 8/3$ 的唯一最近整数．负数同样成立：$\displaystyle -8$ 去掉个位，得到 $\displaystyle -3$．这里舍入的是缩放后的数；若保留原位权，得到的就是最近的 $\displaystyle 3^k$ 的整数倍．不等式严格小于 $\displaystyle 1/2$，因此不会遇到两个整数同样近的情况．

三个数字怎样存进电路

数字 $\displaystyle -1$ 未必用负电压表示．例如，可约定低、中、高三个电压 $\displaystyle 0,V/2,V$ 依次表示 $\displaystyle -1,0,1$，设置两个分界值来识别它们．也可以用电流、磁性状态，或者用两个二进制位编码一个三值位．后一种方式可以直接在二进制机器上实现[2]．

组成完整计算机时，寄存器暂存数值，存储器保存数据和指令，控制器安排取数、运算与写回．三值加法器只是其中一环；各部分还要约定字长、指令编码、溢出处理以及与外部设备的通信方式．

三值位比二值位多一种状态，能多存多少信息？仍然可以计数：$\displaystyle n$ 个三值位有 $\displaystyle 3^n$ 种状态，若用 $\displaystyle b$ 个二进制位一一编码，必须有

$$2^b\ge3^n,\qquad b\ge\left\lceil n\log_2 3\right\rceil$$

因此，每个三值位的信息容量为 $\displaystyle \log_2 3\approx1.585$ bit．这里比较的是可区分的状态数；实际编码时，若每个trit固定占用两个bit，仍要用 $\displaystyle 2n$ 位．

数位少了，实现每一位的电路却可能更复杂．例如，总电压跨度同为 $\displaystyle V$，若采用等距电平，二值的间隔为 $\displaystyle V$，三值则只有 $\displaystyle V/2$．中间状态要经得起噪声和器件差异，门电路也要能稳定连接起来．电平间隔本身不等于实际噪声容限，但足以提醒我们：数位数量并不能直接换算成芯片面积或功耗．

1958年，它已经被做成过计算机

1958年12月，莫斯科大学完成了Setun样机．它采用平衡三进制，用小型铁氧体磁芯和半导体二极管构成逻辑元件，具有存储器、指令系统和乘法运算能力．

开发者的回顾记载，Setun共生产约50台，应用于大学、研究机构和工厂．1970年推出的Setun-70采用两个栈，分别保存运算数据和程序返回信息，并把6个trit组成一个“tryte”[3]．一组6位三值数字有 $\displaystyle 3^6=729$ 种状态，折合约 $\displaystyle 6\log_2 3\approx9.51$ bit的信息容量．

这些机器证明了三进制可以支撑完整计算系统．

今天为什么又有人研究三值计算

今天仍有人研究三值器件，也有人把三值数据用在现有计算机上．

2025年，《Nature Communications》的一项研究通过调节晶体管的控制电压，展示了可在二值、三值之间切换的器件及反相器[4]．它解决的是如何产生、控制中间状态，尚不是一台完整计算机．

神经网络中需要反复计算加权和，其中的系数称为权重．BitNet b1.58让部分线性层的量化权重取 $\displaystyle -1,0,1$．暂时略去量化缩放因子，计算就变成

$$\sum_{i=1}^{n}w_ix_i =\sum_{w_i=1}x_i-\sum_{w_i=-1}x_i,\qquad w_i\in\{-1,0,1\}$$

乘以权重变成加、减或跳过．2025年的BitNet b1.58 2B4T报告采用三值量化权重，线性层输入采用8位整数，累加另需足够精度；报告也提供了CPU、GPU上的推理实现[5]．因此，权重用了三个值，并不表示其他数据和底层电路也都改成了三进制．

截至2026年10月，官方bitnet.cpp项目已经提供二进制CPU、GPU上的相关推理实现，并扩展到嵌入模型等应用[6]．三值结构在这里主要用于减少权重存储和计算开销．

三值数据已经能在二进制机器上发挥作用．从现有实现看，低比特模型和专用运算单元是较现实的近期方向；是否进一步走向通用三进制计算机，还要看整套硬件与软件能否配合．

参考资料

[1] Douglas W. Jones．Fast Ternary Addition．

[2] Douglas W. Jones．Binary Coded Ternary and Its Inverse．

[3] N. P. Brousentsov、S. P. Maslov、J. Ramil Alvarez、E. A. Zhogolev．Development of Ternary Computers at Moscow State University．

[4] Y. A. Kwon等．Reconfigurable binary and ternary logic devices enabling logic state modulation．Nature Communications，2025，16：6740．

[5] Shuming Ma等．BitNet b1.58 2B4T Technical Report．2025．

[6] Microsoft．bitnet.cpp官方项目．查阅于2026年10月31日．

微积分进制与编码

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