2026年菲律宾IMO国家队选拔测试（TST1／TST2）

TST1 · 第一天

第1题

对于整数数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$，定义其阳光代价（sunshine cost）为当 $i,j$ 各自遍取 $1,2,\ldots,100$ 时， $$\left|(a_1+a_2+\cdots+a_i)-a_j\right|$$ 的最大值．求所有由两两不同的整数构成的数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$ 的阳光代价的最小可能值．

第2题

Bluey 在一个 $1000\times1000$ 的方格表中放糖果．起初，每个方格都是空的．每一步，Bluey 选择糖果总数为 $3$ 的倍数的一行或一列，再在这一行或这一列中选择一个空方格，在其中放入一颗糖果．如果不存在可按上述规则操作的行或列，Bluey 就停止．

求 Bluey 最多能放入多少颗糖果．

第3题

对于正整数 $n,k$，用 $f_k(n)$ 表示 $n$ 除以 $2^k-1$ 所得的余数．若正整数 $n$ 满足 $$f_1(n)\le f_2(n)\le f_3(n)\le f_4(n)\le\cdots,$$ 则称 $n$ 为佳数（grouse number）．

（a）证明：佳数有无穷多个．

（b）证明：存在正整数 $M$，使得小于 $M$ 的佳数至多有 $\dfrac{M}{2025^{2025}}$ 个．

命题：美国（U.S.A）．

TST1 · 第二天

第4题

设 $ABC$ 是一个满足 $AB<AC$ 的锐角三角形，$\Gamma$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆．过 $B$ 作 $AC$ 的垂线，与 $\Gamma$ 再次相交于点 $D\ne B$．设 $Q$ 是 $\Gamma$ 上异于 $B$ 且满足 $AB=AQ$ 的点．直线 $BQ$ 与 $AC$ 相交于点 $R$．直线 $DR$ 与 $\Gamma$ 再次相交于点 $S\ne D$．线段 $BC$ 与 $\triangle QRS$ 的外接圆相交于点 $T$．直线 $TQ$ 与 $RS$ 相交于点 $X$．

证明：$CX\perp AB$．

命题：Dorlir Ahmeti、Dren Neziri，科索沃．

第5题

正整数三元组序列 $(a_0,b_0,c_0),(a_1,b_1,c_1),\ldots,(a_{2025},b_{2025},c_{2025})$ 对所有 $0\le i\le2024$ 满足 $$(a_{i+1},b_{i+1},c_{i+1})=\bigl(a_i+\gcd(b_i,c_i),\ b_i+\gcd(c_i,a_i),\ c_i+\gcd(a_i,b_i)\bigr)．$$ 求 $a_{2025}$ 的最小可能值．这里，$\gcd(x,y)$ 表示整数 $x,y$ 的最大公约数．

第6题

Tim 和 Tam 玩一个游戏．游戏开始时，Tim 在黑板上写下一些非零实数，这些数不一定互不相同．每一轮按如下步骤进行．

首先，Tam 选择一个多项式 $$P_k(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ 其系数 $a_k,a_{k-1},\ldots,a_1,a_0$ 是当前黑板上的所有数按某种顺序排列而成的．例如，若黑板上的数为 $4,-3,4$，则 $k=2$，Tam 可以选择 $4x^2-3x+4$ 或 $-3x^2+4x+4$，但不能选择 $4x-3$ 或 $-3x^2-3x+4$．

然后，若方程 $P_k(x)=0$ 没有实数解，游戏就停止．否则，Tim 选择一个满足 $P_k(r)=0$ 的实数 $r$，并将它写在黑板上，于是黑板上的数比原来多一个．

判断 Tim 能否保证，无论 Tam 如何行动，游戏都永不停止．

命题：Melvil Treilleux、Vincent Jugé，法国．

TST2 · 第一天

第1题

设 $m\ge n>7$．Anna 将一个 $m\times n$ 方格表的 $mn$ 个方格各涂成粉色或绿色，使得其中存在一个全部为粉色的 $3\times3$ 子方格表和一个全部为绿色的 $3\times3$ 子方格表．T 形五格骨牌（T-pentomino）是由五个方格组成的字母 T 形图形，如下图所示，允许旋转．若一个 T 形五格骨牌中恰有 $2$ 个粉色方格或恰有 $2$ 个绿色方格，则称它是好的．对于 Anna 的哪些染色方式，她的朋友 Ben 能找到一个好的五格骨牌？

命题：Luke Sebastian Sy．

第2题

设 $ABC$ 是一个锐角不等边三角形，其垂心为 $H$，外心为 $O$．设 $M$ 是 $BC$ 的中点．过 $H$ 且垂直于 $AO$ 的直线分别与 $BC$、$AO$ 相交于点 $X,N$．直线 $AH$ 与 $\triangle HMN$ 的外接圆再次相交于点 $P\ne H$，直线 $XP$ 与 $\triangle BPC$ 的外接圆再次相交于点 $Q\ne P$．

证明：$\triangle PQM$ 的外接圆与 $\triangle ABC$ 的外接圆相切．

命题：Mark Justin Villafuerte、Ervin Joshua Bautista．

第3题

设 $c\ge2$ 为实数．对于每个整数 $n\ge4$，设 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 是 $1,2,\ldots,n$ 的一个排列，并令 $a_{n+1}=a_1$．定义 $$F_c(a_1,\ldots,a_n)=\sum_{i=1}^{n}|a_i-ca_{i+1}|．$$ 求具有如下性质的最大常数 $f(c)$：对于每个整数 $n\ge4$，都存在 $1,2,\ldots,n$ 的一个排列 $(a_1,\ldots,a_n)$，使得 $$F_c(a_1,\ldots,a_n)\ge f(c)n^2．$$ 命题：Farrell Eldrian Wu，灵感来自 IWYMIC 2021 A4．

TST2 · 第二天

第4题

设 $n>2027$ 为正整数，且 $4n+1$ 为素数．Mika 在黑板上写下各数 $2n+1,2n+3,2n+5,\ldots,4n+1$．每次操作时，她从黑板上的数中按顺序选出两个互素的数 $a,b$，然后在黑板上写下满足 $b\mid(ac-1)$ 的最小正整数 $c$．之后，她重复这一过程，如此无限进行下去．

求 Mika 进行有限次操作后，黑板上可能出现的不同数的个数的最大值．

命题：Mark Justin Villafuerte．

第5题

设 $K$ 为正整数，$L\in[0,2]$ 为实数．三个数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 对 $n\ge0$ 由以下循环关系递归定义： $$Kx_{n+1}=x_n^2+Ly_nz_n,\qquad Ky_{n+1}=y_n^2+Lz_nx_n,\qquad Kz_{n+1}=z_n^2+Lx_ny_n．$$ 证明：具有以下性质的最小整数是 $K=4052$：存在一个整数初始三元组 $(x_0,y_0,z_0)$，满足 $|x_0|\ge2026,|y_0|\ge2026,|z_0|\ge2026$，并且对于所有 $L\in[0,2]$，数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 都有界．

命题：Farrell Eldrian Wu．

第6题

设 $k$ 为正整数，$n\ge2$ 为整数．起初，一只兔子被放在一个 $n\times n$ 棋盘的某个方格中．随后，一名猎人分若干轮追捕兔子．每一轮，猎人选定 $k$ 个不同的方格．兔子知道猎人选定了哪些方格；它向右移动一格或向上移动一格，但移动到的方格必须没有被猎人在该轮选中．如果兔子无法移动，它就被捕获，追捕结束．

棋盘的边界循环相接：如果兔子位于最右边的一列，那么向右移动一格就会到达同一行最左边一列的方格；如果兔子位于最上面的一行，那么向上移动一格就会到达同一列最下面一行的方格．

（a）求 $k$ 的最小值，使得猎人有一种策略，能保证在有限轮内捕获兔子．

（b）对于这个 $k$ 值，求最小整数 $M$，使得猎人能保证在至多 $M$ 轮内捕获兔子．

命题：Shawn Darren Chua、Farrell Eldrian Wu．

译注：原文两问的 $K$ 统一作 $k$，将 topmost column 按上下文校正为“最上行”．原件未说明猎人是否知道兔子的位置，此信息条件待核；译文未作补充．