2026年USEMO西区试题

第一天（2026年10月24日）

第1题

在国际老鼠奥林匹克竞赛中，2026支队伍各有2026只老鼠，它们要入住一个 $2026\times2026$ 的方格表，每格一只．为减少同队成员之间的合作，组织者希望使“队伍距离”尽可能大：对所有由同队两只老鼠组成的无序对，求两者的曼哈顿距离，再将这些距离相加．队伍距离的最大可能值是多少？

注：若两只老鼠分别占据方格 $(r_1,c_1)$ 和 $(r_2,c_2)$，则它们的曼哈顿距离为 $|r_1-r_2|+|c_1-c_2|$．

在这个 $4\times4$ 示例中，每种颜色代表一支由4只老鼠组成的队伍．红色老鼠 $A$、$B$ 对队伍距离的贡献为 $|1-4|+|1-4|=6$．对所有同色老鼠的无序对求和，得到 $22+17+20+17=76$．

第2题

设 $\mathbb N$ 为正整数集．求所有函数 $f:\mathbb N\to\mathbb N$，使得对任意 $n,m\in\mathbb N$，均有 $f^{f(n)+m}(n)=n+f(n+m)$．这里，$f^k(n)$ 表示将函数 $f$ 对 $n$ 连续迭代 $k$ 次所得的值．

第3题

设 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ 为凸六边形，且对所有 $1\le i\le6$，点 $A_i$ 到直线 $A_{i-1}A_{i+1}$ 的距离均相等，其中下标按模6计算．对每个 $k\in\{1,2\}$，分别以 $I_k$、$G_k$ 表示三角形 $A_kA_{k+2}A_{k+4}$ 的内心和重心．已知 $I_1\ne I_2$ 且 $G_1\ne G_2$．证明：直线 $I_1I_2$ 与 $G_1G_2$ 平行或重合．

第二天（2026年10月25日）

第4题

是否存在一个由正整数组成的等比数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{2026}$，使它们的数位和 $S(a_1),S(a_2),\ldots,S(a_{2026})$ 构成公差非零的等差数列？这里，$S(x)$ 表示 $x$ 的十进制表示中各位数字之和．

第5题

设 $P=P_1P_2\cdots P_{2026}$ 和 $Q=Q_1Q_2\cdots Q_{2026}$ 为凸多边形，且 $Q$ 的每个顶点都严格位于 $P$ 的内部．已知对所有 $1\le i\le2026$，均有 $Q_iQ_{i+1}\parallel P_iP_{i+1}$，其中下标按模2026计算．满足 $Q_iQ_{i+1}>P_iP_{i+1}$ 的下标 $1\le i\le2026$ 最多有多少个？

第6题

固定一个大于2026的奇数 $k$．游戏（Yugi）有一副《游戏王》卡组，其中共有奇数 $n$ 张牌，每张牌都属于怪兽卡或陷阱卡中的一种．每次操作，他选择 $k$ 张互不相同的牌，借助“千年积木”（Millennium Puzzle）判断这 $k$ 张牌中哪一类更多．后续操作可以再次选取此前选过的牌，且每次选牌可以根据此前操作的回答来决定．证明：对所有充分大的奇数 $n$，他都能用少于 $n/100$ 次操作，确定整副卡组中哪一类牌更多．

注：若将 $1/100$ 换成更大的常数 $c_k<1$（可依赖于 $k$），所得结果可根据 $c_k$ 的值获得部分分数．

题文来源：西区第一天原卷、西区第二天原卷．赛事由 Mathelots 主办，Anant Mudgal 担任负责人．

许可与整理说明．