2026年巴西数学奥林匹克（高中组）

题文来源：OBM 官方 Level 3 试卷

第一天

第 1 题

设三角形 $ABC$ 满足 $\angle BAC=60^\circ$ 且 $AB< AC$．分别以 $O$ 和 $I$ 表示三角形 $ABC$ 的外心和内心，以 $T$ 表示三角形 $BIC$ 的垂心．

(a) 证明：$B,C,O,I$ 四点共圆．

(b) 证明：直线 $BC,OI,AT$ 交于同一点．

第 2 题

设 $p$ 为奇素数．求最小的正整数 $k$，使得存在正整数 $n$，当

分别除以 $p$ 时，余数 $0,1,\ldots,p-1$ 每一个都至少出现一次．

注：对于非负整数 $a,b$，定义

第 3 题

对于 $(1,2,3,\ldots,2026)$ 的每一个排列 $a=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{2026})$，考虑下列各数：

定义 $f(a)$ 为上述 $2026$ 个和中不同数值的个数．当 $a$ 遍历 $(1,2,3,\ldots,2026)$ 的所有排列时，$f(a)$ 的最小可能值是多少？

第二天

第 4 题

对于正整数 $n$，定义

证明：存在无穷多个正整数 $n$，使得 $f(n+1)<f(n)$．

第 5 题

在一个 $100\times100$ 的棋盘上，已经有 $50$ 个方格按下图所示填入了数字：

埃斯梅拉达希望在一些空白方格内填入正整数，使最终的棋盘满足以下条件：

“不存在两个共用一条边、且所填数字不同的方格．”

除去已经填好数字的 $50$ 个方格，埃斯梅拉达最多还能填多少个方格，使上述条件成立？

第 6 题

设 $ABC$ 为锐角三角形，$M$ 为边 $BC$ 的中点，$D,E$ 分别为边 $AB,AC$ 上的点，满足 $MD=ME$．过 $D$ 且垂直于 $AB$ 的直线与过 $E$ 且垂直于 $AC$ 的直线交于 $P$．分别以 $R,S$ 表示点 $P$ 关于直线 $AB,AC$ 的对称点．直线 $BR$ 与 $CS$ 交于 $Q$．分别以 $K,L$ 表示点 $Q$ 在直线 $AB,AC$ 上的垂足．证明：$DL=EK$．