2026年泛美女子数学奥林匹克竞赛（PAGMO 2026）

第一天

第1题

设 $ABC$ 是一个三边长两两不同的锐角三角形．线段 $AB$ 和 $AC$ 的垂直平分线分别交线段 $BC$ 于点 $P$ 和点 $Q$，并相交于点 $O$．若 $\angle BAQ=2\angle PAC$，求 $\angle AOC$ 的大小．

第2题

将一个 $2025\times2025$ 棋盘中的一些方格涂黑，使得以下条件成立：

1. 在任意一个 $3\times1$ 或 $1\times3$ 的方格块中，若其中至少有两个方格为黑色，则第三个方格也为黑色．
2. 棋盘中至少有一个方格未涂色．

黑色方格的数量最多是多少？

第3题

若正整数 $N$ 可以表示为

其中 $a,b,n,k$ 均为正整数，则称 $N$ 为一个 búcaro 数．求出所有 búcaro 数．

第二天

第4题

设 $a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots$ 是一个实数数列，满足 $0<a_1\le 1\le a_2\le 3$，且对所有 $n\ge1$，都有 $a_{n+2}=a_n+\frac{1}{a_{n+1}}$．

例如，当 $n=1$ 时，$a_3=a_1+\dfrac1{a_2}$；当 $n=2$ 时，$a_4=a_2+\dfrac1{a_3}$；依此类推．

证明：对所有 $n\ge1$，都有 $a_n\le\frac{3n}{2}$．

第5题

求出所有整数 $n\ge2$，使得下列各数都整除 $n+1$：

这里，$\gcd(a,b)$ 表示 $a$ 与 $b$ 的最大公约数．

第6题

设 $ABC$ 是一个满足 $AB<AC$ 的锐角三角形，其外接圆为 $\Gamma$．设 $D$ 为从 $A$ 向 $BC$ 所作高的垂足．以 $AD$ 为直径的圆与 $AB$ 交于异于 $A$ 的点 $X$，并与 $\Gamma$ 交于异于 $A$ 的点 $Y$．设 $O_1$、$O_2$、$O_3$ 分别为三角形 $ABC$、$ADX$、$BXC$ 的外心．证明：三角形 $XBY$ 与三角形 $O_1O_2O_3$ 相似．