2026年USEMO东区试题

第一天（2026年10月24日）

第1题

设 $n$ 为不是完全立方数的正整数，$a,b,c$ 为非零整数，且 $a+b+c=0$．证明：$n(a^3-n)(b^3-n)(c^3-n)$ 不是整数的立方．

第2题

一个 $2026\times2026$ 方格表中，每个方格的颜色都不相同．每次操作可以选择一行或一列，将这一行或这一列的颜色循环平移任意多个位置．至少需要多少次操作，才能将整个着色图案逆时针旋转 $90^\circ$？

左图示意中间一行的循环平移，右图示意逆时针旋转 $90^\circ$．

第3题

设三角形 $ABC$ 的内心为 $I$，外接圆为 $\Gamma$．其内切圆分别与边 $AC,AB$ 相切于点 $E,F$．设圆 $\Gamma$ 与三角形 $AEF$ 的外接圆除 $A$ 外的另一交点为 $S$．直线 $SI$ 关于直线 $EF$ 的对称直线分别与直线 $AC,AB$ 交于点 $P,Q$．点 $X,Y$ 在直线 $EF$ 上，且 $PX\perp AC$、$QY\perp AB$．证明：以 $CX$、$BY$ 为直径的两圆在直线 $PQ$ 上有一个公共点，在圆 $\Gamma$ 上也有一个公共点．

第二天（2026年10月25日）

第4题

设 $B,C$ 为圆 $\omega$ 内部的两个定点．直线 $BC$ 与圆 $\omega$ 交于 $A,D$，且 $A,B,C,D$ 依此顺序共线．点 $P$ 在圆 $\omega$ 上，且不同于 $A,D$．直线 $PB,PC$ 分别与圆 $\omega$ 再交于 $X,Y$．设三角形 $ABX$ 与 $CDY$ 的外接圆的两条公外切线交于点 $S$．证明：当 $P$ 变化时，$S$ 总在两条定直线之一上．

第5题

以 $\mathbb R_{>0}$ 表示正实数集，$\mathbb R$ 表示实数集．求所有严格递增函数 $f:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}$，使得对任意 $x,z>0$，方程 $f(x^2-xy+y^2)+f(y^2-yz+z^2)=f(x^2+xz+z^2)$ 恰有一个实数解 $y\in\mathbb R$．

第6题

将每个正整数恰染成天蓝色或米色中的一种，且每种颜色都出现无穷多次．将天蓝色和米色的正整数分别按从小到大的顺序记为 $a_1<a_2<\cdots$ 和 $b_1<b_2<\cdots$．构造实数 $\alpha=0.a_{b_1}a_{b_2}a_{b_3}\cdots$ 和 $\beta=0.b_{a_1}b_{a_2}b_{a_3}\cdots$，其中每个小数均由相应整数的通常十进制表示依次拼接而成．$\alpha$ 与 $\beta$ 能否同时为有理数？

题文来源：东区第一天原卷、东区第二天原卷．赛事由 Mathelots 主办，Anant Mudgal 担任负责人．

许可与整理说明．