2026 AMC 10A 题目与解析

解析

以一张 EP 唱片的播放时长为单位，33 张 LP 唱片的总播放时长为 $\displaystyle 33\times3=99$，因此还需购买 $\displaystyle 99-45=54$ 张 EP 唱片．

答案：B．

解析

设水的质量为 $\displaystyle 100$，则糖浆的质量为 $\displaystyle 32$，饮料的总质量为 $\displaystyle 132$．所求为 $\displaystyle \frac{32}{132}\times100\%\approx24.24\%$，取整得 $\displaystyle 24\%$． 答案：A．

解析

由 $\displaystyle BE\parallel AD$，得 $\displaystyle \triangle BEF\sim\triangle DAF$，相似比为 $\displaystyle BE:AD=1:3$．因此，点 $\displaystyle F$ 到 $\displaystyle BC$ 与 $\displaystyle AD$ 的距离之比也是 $\displaystyle 1:3$，而这两个距离之和为 $\displaystyle 24$．故点 $\displaystyle F$ 到 $\displaystyle BC$ 的距离为 $\displaystyle 6$，所求面积为 $\displaystyle \frac12\times8\times6=24$． 答案：A．

解析

设多边形有 $\displaystyle n$ 条边．内角的平均值为 $\displaystyle \frac{150^\circ+200^\circ}{2}=175^\circ$，由内角和公式得 $\displaystyle 175n=180(n-2)$，解得 $\displaystyle n=72$． 答案：D．

解析

因为 $\displaystyle 2n+1=(n+1)^2-n^2$，故 $\displaystyle a_{n+1}-(n+1)^2=a_n-n^2$．于是 $\displaystyle a_n-n^2=a_1-1=2$，从而 $\displaystyle a_{10}=10^2+2=102$． 答案：C．

解析

记公共对角线为 $\displaystyle PQ$，两矩形的重叠部分为菱形 $\displaystyle PUQV$，两条对角线交于 $\displaystyle O$．设矩形长边与 $\displaystyle PQ$ 的夹角为 $\displaystyle \theta$，则 $\displaystyle \tan\theta=\frac12$．由对称性，

故 $\displaystyle UV=\frac{\sqrt5}{2}$，重叠菱形的面积为 $\displaystyle \frac12PQ\cdot UV=\frac54$．八边形为两矩形的并集，面积为 $\displaystyle 2+2-\frac54=\frac{11}{4}$，于是 $\displaystyle m+n=11+4=15$． 答案：C．

解析

两式相减得 $\displaystyle 2(y+z)=12$，故 $\displaystyle y+z=6$，$\displaystyle x=25$．正整数有序数对 $\displaystyle (y,z)$ 为 $\displaystyle (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$，共 $\displaystyle 5$ 组． 答案：B．

解析

设实际距离为 $\displaystyle d$ 英里，时间为 $\displaystyle t$ 分钟，则 $\displaystyle 7.5\le d<8.5$，$\displaystyle 4.5\le t<5.5$．所需平均速度满足

所以前四个选项都不可能．以 $\displaystyle 85$ 英里/小时行驶 $\displaystyle 7.65$ 英里，恰需 $\displaystyle 5.4$ 分钟，路牌显示的两个数分别为 $\displaystyle 8$ 和 $\displaystyle 5$．故最低可选限速为 $\displaystyle 85$ 英里/小时． 答案：E．

解析

从较小三角形到较大三角形，对应边长都严格增大．较大三角形含有长为 $\displaystyle 9$ 的边，因此较小三角形的最短边小于 $\displaystyle 9$；较小三角形含有长为 $\displaystyle 12$ 的边，因此较大三角形的最长边大于 $\displaystyle 12$．所以两三角形的边长按从小到大排列，分别为 $\displaystyle (s,9,12)$ 与 $\displaystyle (9,12,t)$．相似比为 $\displaystyle 12/9=4/3$，从而

此时两组三边为 $\displaystyle (27/4,9,12)$ 与 $\displaystyle (9,12,16)$，均满足三角形不等式，且不等边、不全等． 答案：D．

解析

平均数为 $\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}6$，中位数为 $\displaystyle \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$．由题意，

约去 $\displaystyle n+1$ 并整理，得 $\displaystyle 20(2n+1)=39(n+1)$，所以 $\displaystyle n=19$． 答案：A．

解析

已知五个数的最小公倍数为 $\displaystyle 240$，所以六个数的最小公倍数不小于 $\displaystyle 240$．若它也是六个数中的一个，就只能是 $\displaystyle 240$ 或 $\displaystyle n$．

• 若最小公倍数为 $\displaystyle 240$，则 $\displaystyle n\mid240$，且 $\displaystyle n\ne240$．由于 $\displaystyle 100\le n<240$，整数 $\displaystyle 240/n$ 只能为 $\displaystyle 2$，故 $\displaystyle n=120$．

• 若最小公倍数为 $\displaystyle n$，则 $\displaystyle 240\mid n$．结合三位数及互不相同的条件，得 $\displaystyle n=480,720,960$．

上述四个数均满足题意，所以所求为

答案：D．

解析

不妨先设想把 $\displaystyle 200$ 只袜子全部随机排列，依次取出．停止时恰剩两只，等价于这个排列的最后两只颜色相同，而倒数第三只与它们颜色不同．

最后两只为红色、倒数第三只为蓝色的概率，按从后向前观察的顺序计算，为

交换两种颜色得到另一种互斥且等概率的情形，因此所求概率为

答案：D．

解析

设两个俱乐部分别有 $\displaystyle a,b$ 人，且 $\displaystyle a\ge b$．总握手次数为 $\displaystyle 114+117=231=\binom{22}{2}$，所以 $\displaystyle a+b=22$；异会握手次数为 $\displaystyle ab=117$．于是

故两会人数相差 $\displaystyle 4$． 答案：B．

解析

边长必须为正．由 $\displaystyle c=4t+4>0$，知整数 $\displaystyle t\ge0$，此时另外两边也都为正．非退化三角形还须满足三条严格三角不等式．

首先，$\displaystyle a+b>c$ 等价于 $\displaystyle t^2+t+4>0$，在 $\displaystyle t\ge0$ 时恒成立．其次，

所以 $\displaystyle t>2$．最后，

所以 $\displaystyle -1<t<10$．合并条件，得 $\displaystyle 2<t<10$，故

共有 $\displaystyle 7$ 个整数取值．端点 $\displaystyle t=2,10$ 对应退化三角形，不能计入．

答案：B．

解析

所有节点都是介于 $\displaystyle 0$ 与 $\displaystyle 1$ 之间的最简分数：若 $\displaystyle \gcd(a,b)=1$，则 $\displaystyle \gcd(a,a+b)=\gcd(b,a+b)=1$．

因 $\displaystyle a<b$，左子节点 $\displaystyle \frac{a}{a+b}<\frac12$，右子节点 $\displaystyle \frac{b}{a+b}>\frac12$．故可以唯一反推上一层：对于最简分数 $\displaystyle \frac pq$，若 $\displaystyle p<q/2$，父节点为 $\displaystyle \frac{p}{q-p}$；若 $\displaystyle p>q/2$，父节点为 $\displaystyle \frac{q-p}{p}$．

从目标节点依次往上追溯，得

共走过 $\displaystyle 8$ 条边，恰好回到第 $\displaystyle 0$ 层的根节点，所以目标节点位于第 $\displaystyle 8$ 层．

答案：B．

解析

把非中心格分为边中格和角格．设从边中格、角格到达中心格所需步数的期望分别为 $\displaystyle e,c$．从角格走一步必到边中格，因此 $\displaystyle c=1+e$．从边中格走一步，以 $\displaystyle \frac13$ 的概率到达中心格，以 $\displaystyle \frac23$ 的概率到达角格，故

解得 $\displaystyle e=5$．从中心格出发先走一步到边中格，因此首次返回的期望步数为 $\displaystyle 1+5=6$，所求时间为 $\displaystyle 6\times6=36$ 秒． 答案：D．

解析

设长为 $\displaystyle 42$ 的边所对的角为 $\displaystyle \theta$．由余弦定理，

故 $\displaystyle \theta=60^\circ$．圆的半径为 $\displaystyle R=\frac{42}{2\sin60^\circ}=14\sqrt3$，三角形面积为 $\displaystyle \frac12\times18\times48\sin60^\circ=216\sqrt3$．

三个弓形按对应边长 $\displaystyle 18,42,48$ 依次增大，因此中间的弓形 $\displaystyle B$ 对应长为 $\displaystyle 42$ 的弦，其圆心角为 $\displaystyle 120^\circ$．于是

从圆面积中减去三角形和弓形 $\displaystyle B$，得

答案：A．

解析

将递推式写成 $\displaystyle a_{k-1}-12=2(a_k-12)$．严格递减说明 $\displaystyle a_{10}>12$，故最小可取 $\displaystyle a_{10}=13$．反推得

此时 $\displaystyle a_k=12+2^{10-k}$，确为严格递减的正整数列．所求数位和为 $\displaystyle 1+0+3+6=10$． 答案：C．

解析

三个正方体的上表面都离桌面 $\displaystyle 2$．因此，只需先求这些上表面在桌面上的投影所需的最小覆盖圆半径 $\displaystyle r$，再用 $\displaystyle R^2=r^2+2^2$ 求半球半径．

投影的四个前后端点组成一个等腰梯形，两底长分别为 $\displaystyle 4,2$，高为 $\displaystyle 4$．取长底的两个端点及短底的一个端点，得到三边为 $\displaystyle 4,5,\sqrt{17}$、面积为 $\displaystyle 8$ 的锐角三角形．锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，故

由对称性，该外接圆也经过梯形的第四个顶点．设圆心到长底、短底的距离分别为 $\displaystyle u,v$，则 $\displaystyle u+v=4$，且 $\displaystyle u^2+2^2=v^2+1^2$，解得 $\displaystyle u=\frac{13}{8}$，$\displaystyle v=\frac{19}{8}$．圆心到中间台阶所在直线的距离为 $\displaystyle \frac38$，所以两个台阶角到圆心的距离平方为

投影的全部顶点都在圆内，因而整个投影都被覆盖，下界可以达到．故

答案：C．

解析

分解得 $\displaystyle 510510=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17$．先给三条边标号，每个质因数任选一条边，得到 $\displaystyle 3^7$ 种分配．

若三条边不全不同，由于体积没有平方因子，相等的两条边只能都是 $\displaystyle 1$．这样的尺寸只有 $\displaystyle 1,1,510510$，在有标号时被计入 $\displaystyle 3$ 次；其余每种尺寸均被计入 $\displaystyle 6$ 次．因此所求为

答案：D．

解析

将九格依次编号为

X 所在位置为 $\displaystyle 1,3,4,5$．用 $\displaystyle 123$ 表示由小格 $\displaystyle 1,2,3$ 构成的区域，其余类同．包含小格 $\displaystyle 1$ 的连通三格区域只有 $\displaystyle 123,124,125,145,147$ 五种．按它分类，所有划分及得分如下：

• 含 1 的区域：123；完整划分：123／456／789；得分：2．
• 含 1 的区域：123；完整划分：123／457／689；得分：2．
• 含 1 的区域：123；完整划分：123／478／569；得分：1．
• 含 1 的区域：124；完整划分：124／356／789；得分：2．
• 含 1 的区域：124；完整划分：124／369／578；得分：1．
• 含 1 的区域：125；完整划分：125／369／478；得分：1．
• 含 1 的区域：145；完整划分：145／236／789；得分：1．
• 含 1 的区域：147；完整划分：147／235／689；得分：2．
• 含 1 的区域：147；完整划分：147／236／589；得分：1．
• 含 1 的区域：147；完整划分：147／258／369；得分：1．

表中穷尽方式为：确定含 $\displaystyle 1$ 的区域后，取剩余小格中编号最小者，列出包含它的全部连通三格区域，再检验最后三格是否连通．每种划分恰好出现一次．共有 $\displaystyle 10$ 种，其中 $\displaystyle 4$ 种获胜，故所求为 $\displaystyle 4/10=2/5$．答案：C．

解析

沿竖直方向压缩图形，使各椭圆变成圆．同行相切的两圆中心相距仍为 $\displaystyle 4$，因此圆的半径为 $\displaystyle 2$．任意三个两两相切的圆，其中心构成边长为 $\displaystyle 4$ 的正三角形，高为 $\displaystyle 2\sqrt3$．

图中上排与中排原来的距离为 $\displaystyle 15/2$，压缩后变为 $\displaystyle 2\sqrt3$；长轴也按同一比例压缩为圆的直径 $\displaystyle 4$．因此原长轴长为

故 $\displaystyle m+p=5+3=8$．答案：B．

解析

当 $\displaystyle q=0$ 时，数列至多有两项，且 $\displaystyle p=0$ 或 $\displaystyle 1$．两种情况均可实现，例如单项数列 $\displaystyle (1)$ 与 $\displaystyle (2)$，故有 $\displaystyle 2$ 个数对．

当 $\displaystyle q\ge1$ 时，数列中的 $\displaystyle 3$ 的倍数必依次为 $\displaystyle 3j,3(j+1),\ldots,3(j+q-1)$．把从第一个到最后一个 $\displaystyle 3$ 的倍数之间的连续整数称为核心区间．原数列可在核心区间左右各延伸 $\displaystyle 0,1,2$ 项，不能再多．每侧可以选择增加 $\displaystyle 0$ 或 $\displaystyle 1$ 个偶数，故总共可以增加 $\displaystyle 0,1,2$ 个偶数，且都可实现．

若 $\displaystyle q=2k$，其中 $\displaystyle k\ge1$，核心区间含 $\displaystyle 6k-2$ 项，恰有 $\displaystyle 3k-1$ 个偶数，所以 $\displaystyle p\in\{3k-1,3k,3k+1\}$．若 $\displaystyle q=2k+1$，其中 $\displaystyle k\ge0$，核心区间含 $\displaystyle 6k+1$ 项；依首项的奇偶性不同，含 $\displaystyle 3k$ 或 $\displaystyle 3k+1$ 个偶数，因此 $\displaystyle p\in\{3k,3k+1,3k+2,3k+3\}$．

加入 $\displaystyle p,q\le99$ 的限制：

• $\displaystyle q=0$ 时，有 $\displaystyle 2$ 种．

• $\displaystyle q=2,4,\ldots,64$ 时，共 $\displaystyle 32$ 个 $\displaystyle q$，每个对应 $\displaystyle 3$ 种．

• $\displaystyle q=1,3,\ldots,65$ 时，共 $\displaystyle 33$ 个 $\displaystyle q$，每个对应 $\displaystyle 4$ 种．

• $\displaystyle q=66$ 时，$\displaystyle p=98,99$，有 $\displaystyle 2$ 种；$\displaystyle q=67$ 时，只有 $\displaystyle p=99$，有 $\displaystyle 1$ 种．

• $\displaystyle q\ge68$ 时，偶数至少有 $\displaystyle 101$ 个，不符合条件．

因此总数为 $\displaystyle 2+32\times3+33\times4+2+1=233$．答案：B．

解析

设 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，令 $\displaystyle u=2+\sqrt5$，$\displaystyle v=2-\sqrt5$，则 $\displaystyle u+v=4$，$\displaystyle uv=-1$．题设等价于

由 $\displaystyle -10\le b=-17-4a\le10$，得 $\displaystyle -\frac{27}{4}\le a\le-\frac74$，故 $\displaystyle a=-6,-5,-4,-3,-2$，共 $\displaystyle 5$ 种，对应的 $\displaystyle b$ 均符合要求．常数项 $\displaystyle c$ 任取 $\displaystyle -10$ 到 $\displaystyle 10$ 的整数，共 $\displaystyle 21$ 种，所求为 $\displaystyle 5\times21=105$． 答案：E．

解析

设经过 $\displaystyle d$ 天，每间房有 $\displaystyle t$ 颗坚果．由坚果总数关系，

第一间房每天至多增加 $\displaystyle 1$ 颗，所以 $\displaystyle t\le d+1$，从而

当 $\displaystyle d=95$ 时，每间应有 $\displaystyle 96$ 颗，第 $\displaystyle i$ 间房需要增加 $\displaystyle 96-i$ 颗，即恰有 $\displaystyle i-1$ 天不放坚果．将房间编号 $\displaystyle i$ 重复 $\displaystyle i-1$ 次，并按编号从小到大排列，得到一张 $\displaystyle 190$ 项的清单 $\displaystyle L_1,\ldots,L_{190}$．第 $\displaystyle j$ 天不向编号为 $\displaystyle L_j$ 与 $\displaystyle L_{j+95}$ 的两间房放坚果，其余 $\displaystyle 18$ 间各放一颗，其中 $\displaystyle 1\le j\le95$．

同一编号连续出现至多 $\displaystyle 19$ 次，因此相隔 $\displaystyle 95$ 项的两个编号必不相同．每个编号的每次出现又恰好使用一次，故第 $\displaystyle i$ 间房恰有 $\displaystyle i-1$ 天不放坚果，最终坚果数为

所以 $\displaystyle 95$ 天可以达到目标，最少需要 $\displaystyle 95$ 天． 答案：B．