高考强基 2026-05-20 含解答

深圳中学填空压轴的三角不等式，计算量并不大

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 51 字公式 24 处

题目：在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若𝑎^(2)+2𝑏^(2)=4𝑐^(2)，则𝑓=(2)/(sin^(2)⁡𝐴)+(1)/(sin^(2)⁡𝐵)的最小值为______．

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答案：(18)/(5)

构造：𝑎:𝑏:𝑐=√(14):√(11):3

证法一：

设sin^(2)⁡𝐴=4sin^(2)⁡𝐶sin^(2)⁡𝜃，sin^(2)⁡𝐵=2sin^(2)⁡𝐶cos^(2)⁡𝜃，𝜃∈(0,(𝜋)/(2))．则

cos⁡𝐶=(sin^(2)⁡𝐴+sin^(2)⁡𝐵−sin^(2)⁡𝐶)/(2sin⁡𝐴sin⁡𝐵)=(3sin^(2)⁡𝐴+2sin^(2)⁡𝐵)/(8sin⁡𝐴sin⁡𝐵)=(2−cos⁡2𝜃)/(2√(2)sin⁡2𝜃)

即sin^(2)⁡𝐶=1−((2−cos⁡2𝜃)^(2))/(8sin^(2)⁡2𝜃)．于是

𝑓=(2)/(sin^(2)⁡𝐴)+(1)/(sin^(2)⁡𝐵)=(1)/(2sin^(2)⁡𝐶sin^(2)⁡𝜃)+(1)/(2sin^(2)⁡𝐶cos^(2)⁡𝜃)=(2)/(sin^(2)⁡𝐶sin^(2)⁡2𝜃)

记𝑡=cos⁡2𝜃∈(−1,1)，则

𝑓=(2)/(sin^(2)⁡𝐶sin^(2)⁡2𝜃)=(2)/(sin^(2)⁡2𝜃−((2−cos⁡2𝜃)^(2))/(8))=(16)/(−9𝑡^(2)+4𝑡+4)⩾(16)/((40)/(9))=(18)/(5)

证法二：

不妨设𝑐=2，𝐴(−1,0)，𝐵(1,0)，𝐶(𝑥,𝑦)，不妨设𝑦>0，则条件等价于

(𝑥−1)^(2)+𝑦^(2)+2((𝑥+1)^(2)+𝑦^(2))=16

即3𝑥^(2)+3𝑦^(2)+2𝑥=13．

于是𝑦^(2)=−(𝑥+(1)/(3))^(2)+(40)/(9)⩽(40)/(9)

𝑓= (2)/(sin^(2)⁡𝐴)+(1)/(sin^(2)⁡𝐵)=(2)/((𝑦^(2))/((𝑥+1)^(2)+𝑦^(2)))+(1)/((𝑦^(2))/((𝑥−1)^(2)+𝑦^(2)))=(16)/(𝑦^(2))≥(18)/(5);

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