高考强基 2025-09-16 含解答

青岛高三开学考压轴题？广东预赛加试题！

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 90 字公式 24 处2 图

这是前两天青岛高三开学考的第18题：

我们只看最后一小问，上一小问求出a=1−2ln⁡2．于是题目如下：

x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)≥0，满足∑_(i=1)^(5)x2i=4．求

S=(∑_(i=1)^(5)(1)/(1+x_(i)))(ln⁡∑_(i=1)^(5)x_(i)+1−2ln⁡2)

的最大值．

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解答：

取x_(1)=0，x_(2)=x_(3)=x_(4)=x_(5)=1得S=3．下证S≤3，从而S的最大值为3．

记T=∑_(i=1)^(5)x_(i)，则由

∑_(i=1)^(5)(1)/(1+x_(i));= 5−∑_(i=1)^(5)(x_(i))/(1+x_(i));≤ 5−((∑_(5)^(i=1)x_(i))^(2))/(∑_(5)^(i=1)(1+x_(i)));= 5−(T^(2))/(T+4);

ln⁡∑_(i=1)^(5)x_(i)+1−2ln⁡2=ln⁡(T)/(4)+1≤(T)/(4)

只需证：

(5−(T^(2))/(T+4))⋅(T)/(4)≤3;⟺ 12(T+4)−T(5(T+4)−T^(2))≥0;⟺ (T+3)(T−4)^(2)≥0;

显然成立，证毕．

下面是2025年广东省高联预赛加试第2题：

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