半个世纪前的IMO预选题，今天还活跃在考场之上

1975年IMO预选题：

设x_(0)=5，x_(n+1)=x_(n)+(1)/(x_(n))，∀n≥0．求证：45<x_(1000)<45.1．

证明：

由条件知：

于是x2n>x20+2n=25+2n，∀n≥1．

因此x21000>2025，即x_(1000)>45．

另一方面，

注：

本题为50年前的IMO预选题，我第一次见是在保送考试的考场上，有幸当场想到了上面这个自以为绝妙的分段放缩方法。当时就觉得这题非常适合放在2025年考察，昨天在群里有人问了一道可以分段放缩的题目，故想到此题。

清华大学在2019年金秋营考了本题的加强形式：求x_(1000)的小数点后两位。也有非积分的做法，感兴趣的读者可以一试。