贝叶斯公式和抗原检测

今天看到一个视频：

我们国家已经批准的抗原检测试剂，它的敏感性在75%-98%之间，特异性是95%-99%之间。因为我们疫情防控措施比较好，我们国家大部分地区人群的流行率低于百万分之一。如果拿敏感性在85%、特异性97%的试剂盒到千万人口的城市做筛查的话，会得到30万个阳性。但这30万个阳性里，只有9个是真的。也就是说，绝大部分是假阳性。当然检测是阴性的，结果是可靠的。如果在一个流行率达到5%的人群去使用85%敏感性、97%特异性的试剂盒，做100个阳性中，约60个是真的，同时漏检不超过1%。所以抗原检测，应该用在高风险、高流行率的聚集性感染的人群检测，我们的一般人群不要随意做抗原检测。

视频中的敏感性指的是“不漏检”的概率，特异性指的则是“不误诊”的概率．

这里用贝叶斯公式来对视频中的数据做个解释．

首先检测结果一共有四个情况：

记事件𝐴={检测结果为阳性}，𝐵={被检测者本身确实为阳性}．

取敏感性85%、特异性97%．于是

由贝叶斯公式：

公式：P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B)+P(A\mid\bar{B})P(\bar{B})}

代入数据，得到对于检测结果为阳性的检测者，真实情况也为阳性的概率：

公式：\begin{aligned} P(A\mid B)&=\frac{85\%P(B)}{85\%P(B)+3\%P(\bar{B})}\\ &=\frac{85P(B)}{82P(B)+3} \end{aligned}

取流行率为百万分之一，即𝑃(𝐵)=(1)/(1000000)，得到

公式：P(A\mid B)=\dfrac{85\times 1}{82\times 1+3\times 1000000}=\dfrac{85}{3000082}\approx 0.0000283

取流行率为5%，即𝑃(𝐵)=(1)/(20)，得到

公式：P(A\mid B)=\dfrac{85\times 1}{82\times 1+3\times 20}=\dfrac{85}{142}\approx 0.59859

这就得到了视频中的数据和结论．

最后，读者可以自行计算验证视频中所说的“当然检测是阴性的，结果是可靠的。”、“漏检不超过1%”这两个结论．