解题研究
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一道三元不等式及其加强
题目1 已知 a，b，c 为正实数，求证：(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥ 3(a+b+c)^2 （2013 年新疆预赛） 证明 由Cauchy不等式：(2+(a+b)^2)(c^2+2) ≥ …
数学竞赛中的俄罗斯方块——一道USAMO组合题的解答
题目 n≥ 2 为整数．有一块 n× n 的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：如果木板上有 3 个单元格组成的 L 形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，…
一道USAMO代数题的解答
题目 n≥ 4 为正整数．求如下 2n 元方程组的所有正实数解：a_1 =1/(a_(2 n))+1/(a_2), a_2 =a_1+a_3, a_3 =1/(a_2)+1/(a_4), a_4 =a_3+a_5, …
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
国家集训队一道数论型函数方程的解答
题目 求所有函数 f:Z^+^+，使得对任意正整数 m，n 满足 m≥ n，都有：f(mφ(n^3))=f(m)·φ(n^3) 其中 φ(x) 为欧拉函数． （China TST 2021, Test 2, Day 2 …
一道三角不等式的若干解法
题目 在非钝角三角形 △ ABC 中，求证：sin A+sin B+sin C>2． 这个不等式可以由Karamata不等式（优超不等式）直接得到，…
素数有无穷多个的17个证明（2）
9. Srinivasan的证明由Goldbach和Schorn的证明可知，如果存在无穷多个两两互素的正整数
素数有无穷多个的17个证明（1）
1. Euclid的证明 使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为 2=p_1< p_2< …< p_r，再设 P=p_1p_2… p_r+1，…
一道数论难题的解答
题目 求所有满足 Σ_(i=1)^ni^n≡ 1(mod n) 的正整数 n ． 引理 对于质数 p，有 Σ_(i=1)^(p-1)i^n≡ { p-1, p-1| n 0, p-1∤ n . (mod p) …
