2021年泛非数学奥林匹克

2021年泛非数学奥林匹克——中文翻译

第一天

1. 设𝑛是一个大于3的整数．一个边长为𝑛的正方形被平行于边的直线分为𝑛^(2)个边长为1的小正方形．求以这𝑛^(2)个边长为1小正方形的顶点为顶点，边长均不超过3，且面积为2的梯形个数．
   注：平行四边形也视作梯形．
2. 设𝑃为圆Γ外一点，过𝑃作Γ的两条切线，切点分别为𝐴、𝐵，𝐾为直线𝐴𝐵上一点（异于𝐴、𝐵），𝑇为△𝑃𝐵𝐾的外接圆与Γ的另一交点，𝑃^(′)为𝑃关于𝐴的对称点．求证：∠𝑃𝐵𝑇=∠𝑃^(′)𝐾𝐴．
3. 设正整数数列(𝑎_(𝑖))_(𝑖∈ℕ)和(𝑝_(𝑖))_(𝑖∈ℕ)满足以下条件：
   ∙𝑎_(1)≥2；
   ∙对任意整数𝑛≥1，𝑝_(𝑛)为𝑎_(𝑛)的最小质因子；
   ∙对任意整数𝑛≥1，𝑎_(𝑛+1)=𝑎_(𝑛)+(𝑎_(𝑛))/(𝑝_(𝑛))．
   求证：存在正整数𝑁，对任意𝑛>𝑁，都有𝑎_(𝑛+3)=3𝑎_(𝑛)．

第二天

4. 求所有整数𝑚和𝑛，使得(𝑚^(2)+𝑛)/(𝑛^(2)−𝑚)与(𝑛^(2)+𝑚)/(𝑚^(2)−𝑛)均为整数．
5. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ满足∀𝑥,𝑦∈ℝ：

公式：(f(x)+y)(f(y)+x)=f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)

6. 设𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形，且𝐴𝐷∥𝐵𝐶．设𝑂=𝐵𝐷∩𝐴𝐶，△𝐴𝑂𝐵和△𝐷𝑂𝐶的外接圆的另一个交点为𝑆，求证△𝐴𝑆𝐷和△𝐵𝑆𝐶的外接圆相切．

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