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解高航老师分享的一道题
题目：已知 a,b，设 f(x)=x^4-2023x，若 a≠ b，且 f(a)=f(b)=c(c>0), 求证：-√(c)< ab< 0 ． 证明：由 f'(x)=4x^3-2023=0 有唯一实根 x_0，…
今天生日，发道简单的不等式纪念一下
问题：正实数列 {a_n} 满足对任意正整数 n，都有 a_(n+1)^2≥ (a_1^2)/(1^3)+(a_2^2)/(2^3)+…+(a_n^2)/(n^3). 求证：存在正实数 N，…
2022年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）代数组
公众号原标题：2022年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）代数组——中文翻译2022年普林斯顿数学竞赛（代数A组） 程国根译 1. 给定多项式 f 和 g，满足对任意实数 x，都有 f(x)≥ g(x) ． f 和 g 的分隔线是指直线 h(x)=mx+k，满足对任意实数 x，…
一道用数论估计方法做的组合几何题
题目：在平面上是否存在一个有限点集 S，使得其中至少有 |S|^2 组点构成调和四边形的四个顶点？分析：这是一道很有意思的问题，组合几何题往往几何成分偏少，这题则很罕见地出现了调和四边形这一概念。…
2022年IMO预选题A5另解（其实更像组合题）
1. （2022年IMO预选题A5） 求所有的整数 n≥ 2，使得存在正实数 a_1<a_2<…<a_n 和正实数 r，…
2023年瑞士IMO国家队选拔考试
公众号原标题：2023年瑞士IMO国家队选拔考试——中文翻译程国根译 第一天 1. 2022年IMO预选题C1 2. 设 S 是一个由正整数组成的非空集合，满足条件：若 n 在 S 中，…
是否存在满足要求的二元运算？
题目：给定实数 a≠ b，集合 X 中至少含有 a,b 两个元素．函数 f:X^3→ X 定义如下：f(x,y,z)= a,若x,y,z不为a b,若x,y,z中至少一数为a 是否存在二元运算 *:X^2→ X，…
一个有趣的等式（2023年国庆）
53× 63× 73× 83=20231001 祝大家国庆节快乐！
Mathematical Reflections 2023年第五期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2023年第五期征解题——中文翻译原文：Mathematical Reflections 2023年第五期征解题 Junior Problems 程国根 译 J637. 求所有正整数 n，…
证明n倍角的余弦值不可能为单位分数
1. 已知 p 为奇素数，α∈[0,(π)/2]，满足 cosα=1/p ．求证：对任意大于 1 的整数 n，均不存在正整数 m，使得 cos nα=1/m ． 假设结论不成立，即存在正整数 n>1 和 m，…
一道组合型不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道组合型不等式给定正整数 n，设 φ(1),φ(2),…,φ(n) 为 1,2,…,n 的任意一个排列．求 f(n)=Σ_(i=1)^([n/2])φ(i)+Σ_(i=[n/2]+1)^nφ^(-1)(i) 的最小值，…
一道函数迭代难题
公众号原标题：【习题研讨】一道函数迭代难题函数 f:R 满足对任意 x,y，都有 |f(x)-f(y)|≤ |x-y| ．且存在正整数 N，使得 f^((N))(0)=0，其中 f^((n)) 为 f 的 n 次迭代． （1）若 N 为奇数，求证：对任意 x，…
2023年中国台湾IMOC组合组
公众号原标题：2023年中国台湾IMOC组合组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023年中国台湾IMOC几何组
公众号原标题：2023年中国台湾IMOC几何组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023 年中国台湾 IMOC数论组
公众号原标题：2023 年中国台湾 IMOC数论组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023年温州摇篮杯压轴不等式解答
{\LARGE\bfseries 2023年温州摇篮杯压轴不等式解答} {\small 2023 09 18} {\small 原文链接 } 上午有老师问了一道不等式，是今年温州摇篮杯的最后一题，…
2023 年中国台湾 IMOC代数组
公众号原标题：2023 年中国台湾 IMOC代数组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克
公众号原标题：2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克——中文翻译注:以下四个图分别为拉丁美洲,南美洲,伊比利亚美洲,西班牙语美洲. 最后附上tex文档：2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克 程国根 译 第一天 1. 设 n 为正整数．求证：在以下 35 个乘积之中，…
一份考前一试模拟题
{ { 一、填空题:本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．} 1. 已知 f(n)= n-3, n≥ 1000 f(f(n+5)), n<1000，则 f(84)= ． 2. 若一个正整数组成的集合中，…
近18年IMO题目排序整理，平均得分最低的是……
这个题目排序是很久之前就想做的，原因是我认为考试分数才能准确反映一道竞赛题的难易程度。这里整理了2006年——2023年共18年108道IMO试题的平均得分，按照从高到低排列（满分7分），数据和题目均来源于IMO官网。…
“如图”能带来怎样的有效信息？
这是一个从高中学竞赛时我就开始思考的问题： 平面几何题干中的“如图”二字能给我们带来怎样的有效信息？问题起源是这道1998年的全国高中数学联赛题： 题目难度不大，用三角法能够很快解决。…
2023年日本IMO国家队选拔考试
公众号原标题：2023年日本IMO国家队选拔考试——中文翻译程国根 译 1. 设 n 是一个正整数，且至少有 4 个正约数，记 d(n) 为 n 的正约数个数．求 n 的所有可能值，使得存在一个共 d(n)-1 项的等差数列 a_1,a_2,…,a_(d(n)-1)，…
Mathematical Reflections 2023年第四期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2023年第四期征解题——中文翻译LaTeX文稿分享：Mathematical Reflections 2023年第四期征解题 Junior Problems 程国根 译 J631. 求最小的正整数 n，…
ACGN各一题
公众号原标题：【习题研讨】ACGN各一题选了几道最近上课讲过的题目（ACGN各一道），作为本期习题研讨的题目吧
2023年IMO第一天试题解答
第1题 设 1=d_1< d_2< …< d_k=n 是合数 n 的全部正因数，若对任意 1≤ i≤ k-2，均有 d_i| d_(i+1)+d_(i+2)，…
单墫教授出的一道因式分解
单墫教授昨天在公众号单谈数学上发了此题：将 x^12+2^6 分解为整系数的多项式相乘，直至不能进一步分解（为整系数多项式相乘）． 首先，…
一道三元不等式简证
这是后台读者问的一道题，睡前写一下． 实数 a,b,c 满足 a^2+b^2+c^2=1，求 a+b+c-2abc 的最大值． 解答：取 a=b=(√(2))/2，c=0，…
2023年莫斯科数学奥林匹克砝码题解答
感谢苏淳教授的翻译，这里写一下十一年级组最后两题我的解答。今有一架绝对精准的双盘天平和 50 个砝码，这些砝码的重量分别为 arctan 1 , arctan1/2 , arctan1/3 , … , …
一道2023年北大强基离散最值问题的解答
正整数 x_1,x_2,…,x_9 满足：x_1< x_2< …< x_9；x_1+x_2+…+x_9=220 ． 当 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 取得最大值时，求 x_9-x_1 的最大值． 这是一道陈题，…
2023年以色列复仇赛
公众号原标题：2023年以色列复仇赛——中文翻译程国根 译 1. 犰狳和獾正在玩一个游戏．犰狳选择了一棵非空的树（无环的连通图），在它的一些顶点放置苹果（一个顶点上可能有几个苹果）．首先，獾选择了一个顶点 v_0 并吃掉了该顶点上所有的苹果．接下来，犰狳和獾交替进行，…
2023年德国数学奥林匹克
公众号原标题：2023年德国数学奥林匹克——中文翻译程国根 译 第一天 1. 求所有整数对 (m,n)，n≥ m，使得 n^3+m^3-nm(n+m)=2023. 2. 将一个三角形的每条边双向延长与该边相同的长度，…
多边形内角余弦之和的取值范围
公众号原标题：【习题研讨】多边形内角余弦之和的取值范围在凸 n 边形 A_1A_2… A_n 中，求 Σ_(i=1)^ncos A_i 的最值（或确界）． 注：本题为我在做今年四川预赛第8题时所想，花了较长时间得到了一个复杂的答案（供参考）：n=3 时，…
2023年高联苏州市选拔赛试题（附最新版预赛试题合辑）
已加入2023预赛合辑，并修改了四川预赛第5题的输入错误
一个代数恒等式
公众号原标题：【习题研讨】一个代数恒等式设 a_1,a_2,…,a_n 为两两不等的实数，求证：Σ_(i=1)^n(a_i∏_(j≠ i)(a_i+a_j)/(a_i-a_j))=Σ_(i=1)^na_i. …
2023年马其顿国家队选拔考试
公众号原标题：2023年马其顿国家队选拔考试——中文翻译tex文稿：2023年马其顿国家队选拔考试 程国根 译 第一天 1. 对正整数 n>1，记 s(n) 为 n 的最小素因子，d(n) 为 n 的正约数个数．能否选取 2023 个正整数 a_1,a_2,…,a_2023，…
2023年四川预赛第8题解答
这道题最近很火，不少粉丝让我写个解答。题目：（2023年四川预赛第8题） 设 A,B,C 是 △ ABC 的三个内角，…
2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮）
公众号原标题：2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮）——中文翻译tex文稿：2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮） 程国根 译 第一天 1. 在直角 △ ABC 中，∠ A=90^(°)，点 P 为一个定点，…
两道高联模拟卷中的离散不等式解答
以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答． 已知 a_1,a_2,…,a_10 为整数，且满足 Σ_(k=1)^10ka_k=2023，…
2023年泰国数学奥林匹克
公众号原标题：2023年泰国数学奥林匹克——中文翻译tex文稿：2023年泰国数学奥林匹克 程国根 译 第一天 1. 集合 A 由 20 个连续正整数组成，且 A 的全体元素之积、全体元素之和均不为 23 的倍数．求证：A 的全体元素之积不为完全平方数． 2. 在 △ …
2023 年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试
公众号原标题：2023 年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试——中文翻译tex文稿：2023年巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试 程国根 译 1. 正实数列 {a_n}_(n=1)^(∞) 定义如下：a_1=1，a_2=2，且对任意正整数 n，…
