2021 年
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换元法证明几道不等式
2008 年IMO的第一天第 2 题第一问如下：题目1 设实数 x，y，z 都不等于 1，满足 xyz=1 ．求证：(x^2)/((x-1)^2)+(y^2)/((y-1)^2)+(z^2)/((z-1)^2)≥ 1． …
从一个集合问题的构造到有限射影平面
本文在申强老师的指导下完成，感谢强神．
2021年全俄数学奥林匹克
公众号原标题：2021年全俄数学奥林匹克——中文翻译九年级组 在圆周上给定 10000 个点，每个点用 k 种颜色之一染色，已知在任意 5 条两两相交的线段中（其端点是 10 个互不相同的点），至少有 3 条线段，…
一道初联代数题的推广
题目1 已知互不相等的实数 a，b，c 满足 a+1/b=b+1/c=c+1/a=t 则 t= ＿＿＿． （2012 年全国初中数学联赛） 分析 这题没什么好说的，代入消元后结合 a，b，…
三角换元法求一个二元最值
本文部分公式较长，阅读时请注意向右滑动． 题目 已知 a，b 为实数，求 ((1-a)(1-b)(1-ab))/((1+a^2)(1+b^2)) 的最值． （Mathematical Reflection O515） …
一道三元不等式及其加强
题目1 已知 a，b，c 为正实数，求证：(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥ 3(a+b+c)^2 （2013 年新疆预赛） 证明 由Cauchy不等式：(2+(a+b)^2)(c^2+2) ≥ …
数学竞赛中的俄罗斯方块——一道USAMO组合题的解答
题目 n≥ 2 为整数．有一块 n× n 的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：如果木板上有 3 个单元格组成的 L 形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，…
一道USAMO代数题的解答
题目 n≥ 4 为正整数．求如下 2n 元方程组的所有正实数解：a_1 =1/(a_(2 n))+1/(a_2), a_2 =a_1+a_3, a_3 =1/(a_2)+1/(a_4), a_4 =a_3+a_5, …
Mathematical Reflection 2021年第二期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflection 2021年第二期征解题——中文翻译初级组 J547． 求所有素数 p 使得 (2^(p+2)-1)/p 也为一个素数． J548． a，b，c，x，y 均为正实数，…
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
国家集训队一道数论型函数方程的解答
题目 求所有函数 f:Z^+^+，使得对任意正整数 m，n 满足 m≥ n，都有：f(mφ(n^3))=f(m)·φ(n^3) 其中 φ(x) 为欧拉函数． （China TST 2021, Test 2, Day 2 …
9-8恒等式与不等式
在 一道三角不等式的若干解法 一文中，我们用到了 (x+y+z)(xy+yz+zx) = (x+y)(y+z)(z+x)+xyz 这一恒等式，在某些地方，…
一道三角不等式的若干解法
题目 在非钝角三角形 △ ABC 中，求证：sin A+sin B+sin C>2． 这个不等式可以由Karamata不等式（优超不等式）直接得到，…
利用牛顿定理解一道几何题
题目 正方形 ABCD 的内切圆为 Γ ．已知 M 为线段 CD 的中点．在线段 AB 上任取一点 P≠ B ．过 M 作 DP 平行线与 Γ 再次交于点 E ．直线 CP，…
2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛
公众号原标题：2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛——中文翻译昨天发的第二题有一个小错误，所以删了今天重新发一遍
从女儿的桌游想到的两道集合问题
晚上陪女儿玩了她喜爱的桌游Crazy Matching（疯狂对对对）．核心规则比较简单，就是找出任意两张卡片
素数有无穷多个的17个证明（2）
9. Srinivasan的证明由Goldbach和Schorn的证明可知，如果存在无穷多个两两互素的正整数
素数有无穷多个的17个证明（1）
1. Euclid的证明 使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为 2=p_1< p_2< …< p_r，再设 P=p_1p_2… p_r+1，…
欧拉分解公式的若干应用
欧拉分解公式：a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] = (a+b+c)(a+ω …
一道数论难题的解答
题目 求所有满足 Σ_(i=1)^ni^n≡ 1(mod n) 的正整数 n ． 引理 对于质数 p，有 Σ_(i=1)^(p-1)i^n≡ { p-1, p-1| n 0, p-1∤ n . (mod p) …
Zeckendorf定理与黄金进制
Zeckendorf定理：任意一个正整数 n 都可以唯一地表示成下述形式 n=a_kF_k+a_(k-1)F_(k-1)+…+a_1F_1． 其中 F_i 为斐波那契数列（F_0=F_1=1，…
2021年科索沃数学奥林匹克
公众号原标题：2021年科索沃数学奥林匹克-中文翻译九年级组 求所有两位的自然数，使得其减去自身数码和的 7 倍后，所得的结果为一个素数． Dua的手中有小于 20 的所有正奇数，Asija的手中有小于 21 的所有正偶数．他们进行以下游戏：在自己的每个回合中，…
1997年保加利亚不等式
昨天的文章发出后，有位同学发了这道1997年保加利亚的不等式给我，可以看作是2000年澳门数学奥林匹克中不等式的加强．
两道不等式问题
2000 年澳门数学奥林匹克与 2018 年波罗的海地区数学奥林匹克的两道正实数不等式证明
一道数论题的两种证法
公众号的第一篇文章，欢迎大家关注
